Question

Qual é o último algarismo do seguinte número: 3²⁰²¹​

Answer 1

1ª Forma de resolver :

Vamos observar algum padrão nas potências de 3 :

$3^1 =3\\3^2 = 9\\3^3 = 27\\3^4 = 81\\3^5 = 243\\3^6 = 729\\3^7 = 2187\\3^8 =6561 \\3^9 = 19683\\3^{10} = 59049\\3^{11} = 177147\\...$

Observe que a partir do 3¹ os algarismo das unidades se repetem na sequência : 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, ...

Então a cada quatro potências do número 3, o ciclo (3, 9, 7, 1) se repete.

Vamos pensar assim - do 1 ao 2021 tem 2021 termos, vamos ver quantas vezes o ciclo 3,9,7,1 se repete

$\displaystyle \frac{2021}{4} = 505 + \text{resto = 1 }$

Então temos o mesmo ciclo acontecendo 505 vezes e restando 1.

Portanto :

acontece 505 vezes : (3,9,7,1 ..... , 3,9,7,1), 3

e quando vai iniciar o próximo para no algarismo 3.

Portanto o último algarismo é 3

2ª forma de resolver :]

Vamos observar as potências de 3 :

$3^1 =3\\3^2 = 9\\3^3 = 27\\3^4 = 81\\3^5 = 243\\3^6 = 729\\3^7 = 2187\\3^8 =6561 \\3^9 = 19683\\3^{10} = 59049\\3^{11} = 177147\\...$

Perceba que os algarismos das unidades 3 e 7 se repetem somente nas potências de expoentes ímpares :

Listando os expoentes ímpares :

$(1, 3, 5, 7, 9, 11, ... )$

Isso é uma P.A, cujo $\text a_1 = 1$  e  $\text r = 2$

Sendo 2021 um número ímpar, vamos quantos termos temos até 2021

Usando o termo geral da P.A :

$\text a_\text n = \text a_1 + (\text n-1).\text r$

$2021 = 1 +(\text n-1).2$

$2020 = 2\text n-2$

$2\text n = 2022 \to \boxed{\text n = 1011 }$ termos.

(obs : lembrando que a P.A é dos expoentes das potências de 3)

Agora, olhando novamente para a sequência dos expoentes ímpares, vemos que o algarismo 3 só se repete nos termos de ordem ímpar da P.A, por exemplo:

$\text a_1, \text a_3, \text a_5, ...$

enquanto o 7 só se repete nos de ordem par :

$\text a_2,\text a_4,\text a_6$

Se quantidade de termos, n = 1011, deu ímpar, significa que o 3 vai aparecer.

Portanto o último algarismo é 3