Question

qual é o terceiro em ordem crescente das potências de x do binômio (2x+y)^7.

Answer 1

Para resolver esta questão vamos introduzir uma necessária modificação:

$(2x+y)^7=(y+2x)^7$

Neste caso o termo procurado é o terceiro termo

Usando novamente a fórmula:

$\boxed{T_(p+1)=(^p_n).a^p.b^{n-p)}}\\ \\ onde:\\ \\ p+1=3 \Rightarrow p=2\\ n=7 \ (expoente)\\ a=y\\ b=2x$

$T_3=(^7_3).(2x)^2.y^5\\ \\ T_3=\frac{7!}{4!.3!}.4x^2.y5\\ \\ T_3=\frac{7.6.5}{3.2.1}.4.x^2y^5\\ \\ \boxed{T_3=140x^2y^5}$

Answer 2

Vamos lá.

Ronaldo, se você poderá seguir aquele método que utilizamos na resposta de uma outra questão sua sobre este mesmo assunto.
Veja: o desenvolvimento de (x+a)ⁿ, sempre será dado por:

C₍n, ₀)*xⁿ*a⁰ + C₍n, ₁)*xⁿ⁻¹*a¹ + C₍n, ₂)*xⁿ⁻²*a² + ........+ C₍n,₅)*xⁿ⁻⁵*a⁵ + C₍n, 6)*xⁿ⁻⁶*a⁶ + C₍n,n)*x⁰*aⁿ.

Como você mesmo poderá ver pelo desenvolvimento acima, o terceiro termo, em ORDEM CRESCENTE das potências de "x", irá ser (veja que o desenvolvimento da sua questão é (2x+y)⁷. Logo será 8 termos):

C₍₇, ₅)*(2x)⁷⁻⁵*y⁵ = C₍₇, ₅)*(2x)²*y⁵ ---- Assim, colocando C₍₇, ₅) na sua fórmula, teremos:

[7!/(7-5)!5!]*(2x)²*y⁵ = [7!/(2!*5!)]*4x²*y⁵ =
= [7*6*5!/2*1*5!]*4x²y⁵ = --- dividindo-se 5! do numerador com 5! do denominador, iremos ficar apenas com:

= [7*6/2*1]*4x²*y⁵ = [42/2]4x²y⁵ = 21*4x²y⁵ = 84x²y⁵ <--- Este é o terceiro termo, em ORDEM CRESCENTE das potências de "x".

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, veja o que ocorre, quando você desenvolve (2x+y)⁷. Veja:

(2x+y)⁷ = 128x⁷+448x⁶y+672x⁵y²+560x⁴y³+280x³y⁴+84x²y⁵ + 14xy⁶ + y⁷
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ↑. . . . . . . . . . . . .

Veja aí que marcamos com uma seta o terceiro termo em ordem crescente das potências de "x" (é o terceiro termo começando do fim do desenvolvimento).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.