Question

Qual é o seno de 12?

Answer 1

Suporemos inicialmente que o 12 (doze) escrito no enunciado seja, na verdade, 12° (doze graus). Posto isto, temos:

$\sf sen(12^{\:\!\circ})=sen(30^\circ\!\:\!\:\!-18^\circ)\qquad(\:i\:)$

Aplicando a fórmula do seno da diferença de dois arcos, representada por sen(α – β) = sen(α)cos(β) – sen(β)cos(α), a expressão ( i ) torna-se equivalente a:

$\sf sen(12^{\:\!\circ})=sen(30^\circ) cos(18^\circ)-sen(18^\circ)cos(30^\circ)\qquad (\:ii\:)$

Como vemos, para determinar o valor de sen(12°), precisamos apenas encontrar os valores de sen(18°) e cos(18°), visto que 30° é um dos ângulos (agudos) notáveis (ângulos fundamentais cujo seno, cosseno e tangente são conhecidos e frequentemente utilizados). Destarte, vamos primeiro calcular o valor de sen(18°). Com este objetivo, partiremos de cos(18°) e, com o auxílio de uma das identidades trigonométricas do arco complementar, expressa por cos(θ) = sen(90° – θ), podemos escrever:

$\sf cos(18^\circ)=sen(90^\circ\!\:\!\:\!-18^\circ)\\\\ \sf cos(18^\circ)=sen(72^\circ)\\\\ \sf cos(18^\circ)=sen(2\cdot 36^\circ)\qquad(\:iii\:)$

Aplicando uma das identidades trigonométricas do arco duplo, dada por sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ), no segundo membro de ( iii ), vem:

$\sf cos(18^\circ)=2\:\!sen(36^\circ)cos(36^\circ)\\\\ \sf cos(18^\circ)=2\:\!sen(2\cdot 18^\circ)cos(36^\circ)\\\\ \sf cos(18^\circ)=2\!\:\!\:\!\big[2\:\!\:\!sen(18^\circ)cos(18^\circ)\big]cos(36^\circ)\\\\ \sf cos(18^\circ)=2\:\!cos(18^\circ)\!\:\!\big[2\:\!\:\!sen(18^\circ)cos(36^\circ)\big]$

$\begin{array}{l}\sf \dfrac{cos(18^\circ)}{cos(18^\circ)}=2\:\!\!\:\!\big[2\:\!\:\!sen(18^\circ)cos(36^\circ)\big]\qquad \big(cos(18^\circ)\neq cos(90^\circ)=0\big)\\\\\ \sf 1=2\!\:\!\:\!\big[2\:\!\:\!sen(18^\circ)cos(36^\circ)\big]\qquad(\:iv\:)\end{array}$

Recordando de uma das fórmulas de Prostaférese, expressa por 2sen(α)cos(β) = sen(α + β) + sen(α – β), a equação ( iv ) transformar-se-á em:

$\sf 1=2\!\:\!\:\!\big[sen(18^\circ \!\:\!+36^\circ)+sen(18^\circ\!\:\!-36^\circ)\big]\\\\ \sf 1=2\!\:\!\:\!\big[sen(54^\circ)+sen(-18^\circ)\big]\qquad (\:v\:)$

A função f(x) = sen(x) de domínio D = ℝ é ímpar, isto é, f(– x) = – f(x), para todo x em ℝ. Aplicando este conceito em ( v ), obteremos:

$\sf 1=2\!\:\!\:\!\big[sen(54^\circ)-sen(18^\circ)\big]\\\\ \sf 1=2\!\:\!\:\!\big[cos(90^\circ\!\:\!-54^\circ)-sen(18^\circ)\big]\\\\ \sf 1=2\!\:\!\:\!\big[cos(36^\circ)-sen(18^\circ)\big]\\\\ \sf 1=2\!\:\!\:\!\big[cos(2\cdot18^\circ)-sen(18^\circ)\big]\qquad(\:vi\:)$

Relembrando que cos(2θ) = 1 – 2sen²θ e aplicando isto na equação ( vi ), ficamos com:

$\sf 1=2\!\:\!\:\!\big[1-2\:\!sen^2(18^\circ)-sen(18^\circ)\big]\qquad(\:vii\:)$

Fazendo sen(18°) = k em ( vii ), adquiriremos a seguinte equação quadrática na incógnita k:

$\sf 1=2(1-2k^2-k)\\\\ 1=2-4k^2-2k\\\\ 4k^2+2k+1-2=0\\\\ 4k^2+2k-1=0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara nesta equação e lembrando que 0 < k < 1 (o ângulo de 18° é agudo), encontraremos:

$\large\begin{array}{l}\sf sen(18^\circ)=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\end{array}$

Seguidamente, substituindo θ por 18° em sen²θ + cos²θ = 1, segue que sen²(18°) + cos²(18°) = 1, donde extraímos o resultado:

$\large\begin{array}{l}\sf cos(18^\circ)=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\end{array}$

Finalmente, da expressão ( ii ), tiramos o seguinte valor para sen(12°):

$\sf sen(12^{\:\!\circ})=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}-\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\\ \sf sen(12^{\:\!\circ})=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}-\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}\\\\\\ \large\boxed{\sf sen(12^\circ)=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}\:\!\:\!+\sqrt{3}-\sqrt{15}}{8}}$

Obs.: poderíamos ter encontrado o seno de 18° a partir da medida do lado do decágono regular inscrito na circunferência unitária, ou por intermédio da aplicação de números complexos.