Question

Qual é o retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio 12cm?

Answer 1

Sejam a e b os lados do retângulo e r a medida do raio do círculo. Os lados do 
retângulo estão relacionados pelo teorema de pitágoras com o raio da seguinte 
maneira: 

a²+(b/2)² = r² ⇔ (b/2)² = r²-a² ⇔ b² = 4(r²-a²) ⇔ b = 2√(r²-a²) (pois b > 0) 

Como o perímetro é dado pela soma dos lados do retângulo, temos a seguinte função 
perímetro para esse retângulo: 

P(a) = 2a+2b = 2a+4√(r²-a²) 

Vamos, então, à procura dos extremantes dessa função. Segundo o teorema de 
Fermat, eles zeram a primeira derivada da função, isto é: 

P'(a) = 0 ⇔ 2+4(-2a)/2√(r²-a²) = 0 ⇔ 2-4a/√(r²-a²) = 0 ⇔ [2√(r²-a²)-4a]/√(r²-a²) = 0 

√(r²-a²) = 2a e √(r²-a²) ≠ 0 ⇔ (r²-a² = 4a² e a > 0) e √(r²-a²) ≠ 0 ⇔ 

(5a² = r² e a > 0) e (r²-a²) ≠ 0 ⇔ a = r/√5 

Como P''(r/√5) < 0, r/√5 é ponto de máximo absoluto de P. Conseguintemente, o 
perímetro máximo do referido retâgulo é dado por: 

Pmáx = P(r/√5) = 2r/√5+4√(r²-r²/5) = 2r/√5+4√(4r²/5) = 2r/√5+8r/√5 = 10r/√5 = 

10.12/√5 = 24√5cm

Espero que ajude!