Question

Qual é o resultado dessa integral que está na foto?​

Answer 1

Para resolver sua questão, deveremos utilizar a seguinte propriedade de integração:

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\tt\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} +C\ ,\ \forall n\neq -1}\end{gathered} }$

Sendo $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sqrt{x} =x^{\frac{1}{2}} \end{gathered} }$ , logo:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int^9_4\sqrt{ x} \ dx=\int_4^9 x^{\frac{1}{2} } \ dx\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt \int^9_4\sqrt{ x} \ dx= \left(\left.\frac{x^{\frac{1}{2}+1 } }{\frac{1}{2} +1}\right)\right|_4^9 \end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int^9_4\sqrt{ x} \ dx=\left( \left.\frac{x^{\frac{3}{2} } }{\frac{3}{2}}\right)\right|_4^9 \end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt \int^9_4\sqrt{ x} \ dx= \left(\left.\frac{2\sqrt{x^3} }{3}\right)\right|_4^9 \end{gathered} }$

Agora, vale ressaltar o T.F.C ( Teorema Fundamental do Cálculo ) que é dado da seguinte forma:

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\tt \int\limits^{x=x_1}_{x=x_0}f(x) dx=F(x)\bigg|^{x=x_1}_{x=x_0} = F(x_1)-F(x_0)}\end{gathered} }$

Aplicando o T.F.C, temos que:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt \int^9_4\sqrt{ x} \ dx= \left(\frac{2\sqrt{(9)^3} }{3}\right)- \left(\frac{2\sqrt{(4)^3} }{3}\right)\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt \int^9_4\sqrt{ x} \ dx= \left(\frac{2\sqrt{729} }{3}\right)- \left(\frac{2\sqrt{64} }{3}\right)\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \tt \int^9_4\sqrt{ x} \ dx= \frac{54 }{3}- \frac{16 }{3}\end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \boxed{\tt \int^9_4\sqrt{ x} \ dx= \frac{38 }{3}} \end{gathered} }$

Qualquer dúvida quanto a resolução dada é só chamar!

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