Question

Qual é o resultado de $\int\limits(x^2+8+11)^7*(2x+8)dx$ ? (com cálculo)

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

Primeiro, fazemos uma substituição $u=x^2+8x+11$. Diferenciamos ambos os lados em respeito à variável $x$:

$\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(x^2+8x+11)$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função $u=u(x)$ é dita implícita e é calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(u(x))=\dfrac{d}{du}(u(x))\cdot \dfrac{du}{dx}$.
• A derivada é um operador linear, logo vale que: $\dfrac{d}{dx}(\alpha\cdot f(x)+\beta\cdot g(x))=\alpha\cdot \dfrac{d}{dx}(f(x))+\beta\cdot \dfrac{d}{dx}(g(x))$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a linearidade e a regra da cadeia

$\dfrac{d}{du}(u)\cdot \dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}(x^2)+8\cdot \dfrac{d}{dx}(x)+11\cdot \dfrac{d}{dx}(1)$

Aplique a regra da potência, sabendo que $x=x^1$ e $1=x^0$

$1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}=2\cdot x^{2-1}+8\cdot 1\cdot x^{1-1}+11\cdot 0\cdot x^{0-1}\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=2x+8$

Multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial $dx$

$du=(2x+8)\,dx$

Substituindo este elemento na integral, teremos:

$\displaystyle{\int u^7\,du}$

Para resolvermos esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1$.
• De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a primitiva de uma função $f(x)$ é a família de funções $F(x)+C$, onde $F(x)=\displaystyle{\int f(x)\,dx}$ e $C\in\mathbb{R}$ é uma constante arbitrária.

Aplique a regra da potência

$\dfrac{u^{7+1}}{7+1}$

Some os valores no expoente e denominador e adicione a constante de integração

$\dfrac{u^8}{8}+C,~C\in\mathbb{R}$

Desfaça a substituição $u=x^2+8x+11$

$\boxed{\dfrac{(x^2+8x+11)^8}{8}+C,~C\in\mathbb{R}}~~\checkmark$

Este é o resultado desta integral.