Matemática, perguntado por raysseraquel, 5 meses atrás

Qual é o resultado de \int\limits(x^2+8+11)^7*(2x+8)dx ? (com cálculo)

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
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Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

Primeiro, fazemos uma substituição u=x^2+8x+11. Diferenciamos ambos os lados em respeito à variável x:

\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(x^2+8x+11)

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

  • A derivada de uma função u=u(x) é dita implícita e é calculada de acordo com a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}(u(x))=\dfrac{d}{du}(u(x))\cdot \dfrac{du}{dx}.
  • A derivada é um operador linear, logo vale que: \dfrac{d}{dx}(\alpha\cdot f(x)+\beta\cdot g(x))=\alpha\cdot \dfrac{d}{dx}(f(x))+\beta\cdot \dfrac{d}{dx}(g(x)).
  • A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: \dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}.

Aplique a linearidade e a regra da cadeia

\dfrac{d}{du}(u)\cdot \dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}(x^2)+8\cdot \dfrac{d}{dx}(x)+11\cdot \dfrac{d}{dx}(1)

Aplique a regra da potência, sabendo que x=x^1 e 1=x^0

1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}=2\cdot x^{2-1}+8\cdot 1\cdot x^{1-1}+11\cdot 0\cdot x^{0-1}\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=2x+8

Multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial dx

du=(2x+8)\,dx

Substituindo este elemento na integral, teremos:

\displaystyle{\int u^7\,du}

Para resolvermos esta integral, lembre-se que:

  • A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: \displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1.
  • De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a primitiva de uma função f(x) é a família de funções F(x)+C, onde F(x)=\displaystyle{\int f(x)\,dx} e C\in\mathbb{R} é uma constante arbitrária.

Aplique a regra da potência

\dfrac{u^{7+1}}{7+1}

Some os valores no expoente e denominador e adicione a constante de integração

\dfrac{u^8}{8}+C,~C\in\mathbb{R}

Desfaça a substituição u=x^2+8x+11

\boxed{\dfrac{(x^2+8x+11)^8}{8}+C,~C\in\mathbb{R}}~~\checkmark

Este é o resultado desta integral.

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