Question

Qual é o resultado da operação ab-(a+b), se a e b são as raízes da equação 2x²-2x-24=0​

Answer 1

O valor da expressão $AB-(A+B)$ é -13

• Mas, como chegamos nessa resposta ?

Temos a seguinte equação quadrática

$2x^2-2x-24=0$

Logo de cara perceba que podemos simplificar essa equação pois todos os números são múltiplos de 2

Lembre-se ao simplificar um expressão temos que simplificar todos os termos

$2x^2-2x-24=0\\\\\\\dfrac{2x^2}{2}-\dfrac{2x}{2}-\dfrac{24}{2} =\dfrac{0}{2} \\\\\\\boxed{x^2-x-12=0}$  

(Lembre-se que 0 dividido por qualquer número sempre da 0)

a questão nos fala que A e B são as raízes da equação

Primeiro temos que saber o que são raízes da equação

• Raízes da equação  são os valores que X pode assumir para que a igualdade da equação seja verdadeira. Ou seja o $X_1~e~X_2$

Ou seja podemos concluir que

$a=X_1\\\\b=X_2$

Então podemos substituir a expressão inicial por

$a\cdot b-(a+b)\Rightarrow \boxed{X_1\cdot X_2-(X_1+X_2)}$

Lembre-se que a fórmula para a soma e produto das raízes da equação são conhecidas

$X_1+X_2=\dfrac{-B}{A}$

$X_1\cdot X_2= \dfrac{C}{A}$

Então podemos substituir na expressão

$X_1\cdot X_2-(X_1+X_2)\\\\\\\dfrac{C}{A} -\left(-\dfrac{B}{A} \right)$

agora basta acharmos os valores

$X^2-X-12=0\\\\A=1\\\\B=-1\\\\C=-12$

Basta substituirmos

$\dfrac{C}{A} -\left(-\dfrac{B}{A} \right)\\\\\\\\\dfrac{-12}{1} -\left(-\dfrac{-1}{1} \right)\\\\\\\-12 -(-(-1)\\\\-12-1\\\\\boxed{-13}$

O valor da expressão $AB-(A+B)$ é -13

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a diferença entre o produto e a soma das raízes da equação do segundo grau -  nesta ordem - é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf a\cdot b - (a + b) = -13\:\:\:}}\end{gathered} }$  

Sejam os dados:

               $\Large\begin{cases} 2x^{2} - 2x - 24 = 0\\ab - (a + b) = \:?\end{cases}$

Sabendo que toda equação do segundo grau - equação quadrática - a uma variável,  em sua forma completa e reduzida pode ser escrita da seguinte forma:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} Ax^{2} + Bx + C = 0,\:\:\:\textrm{com}\:a\neq0\end{gathered}$              

Desta forma seus coeficientes são, respectivamente:

                          $\Large\begin{cases} A = 2\\B = -2\\C = -24\end{cases}$

Sabendo que as relações de Girard aplicadas à equação do segundo grau são:

                   $\LARGE\begin{cases} x' + x'' = -\frac{B}{A}\\x'\cdot x'' = \frac{C}{A}\end{cases}$

Se "a" e "b" são as raízes, então:

                             $\Large\begin{cases} a = x'\\b = x''\end{cases}$

Então, podemos calcular a diferença entre o produto e a soma das raízes da seguinte forma:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} a\cdot b - (a + b) = x'\cdot x'' - (x' + x'')\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{C}{A} - \bigg(-\frac{B}{A}\bigg)\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{C}{A} + \frac{B}{A}\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{C + B}{A}\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{-24 + (-2)}{2}\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{-24 - 2}{2}\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{-26}{2}\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -13\end{gathered}$

✅ Portanto, a o resultado é:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} a\cdot b - (a + b) = -13\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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