Question

Qual é o raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujos os catetos medem 12 cm e 16 cm?
S=p.r

Answer 1

O raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo mede 4 cm.

• Considere c a medida da hipotenusa do triângulo retângulo e utilizando o teorema de Pitágoras calcule essa medida.

c² = 12² + 16²

c² = 144 + 256

c² = 400 ⟹ Extrai a raiz quadrada de ambos os membros.

c = 20 cm

• A área (S) de um triângulo é obtida calculando a metade do produto entre as medidas da base (b) e altura (h).

$\large \sf S = \dfrac{b \times h}{2}$

• Multiplicando-se ambos os membros dessa equação por 2 obtêm-se o dobro da área.

2S = b × h

• Observe na figura anexa que o triângulo retângulo foi dividido em três triângulos cujas bases são os lados do triângulo retângulo e as alturas são raios (r) da circunferência inscrita, consequentemente a soma dessas três áreas deve ser igual à área do triângulo retângulo, ou também a soma do dobro dessas três áreas deve ser igual ao dobro da área do triângulo retângulo.

12 ⋅ r + 16 ⋅ r + c ⋅ r = 12 · 16 ⟹ Substitua o valor de c.

12 ⋅ r + 16 ⋅ r + 20 ⋅ r = 12 · 16 ⟹ Fatore (fator comum em evidência).

(12 + 16 + 20) ⋅ r = 12 · 16 ①

48 ⋅ r = 192 ⟹ Divida ambos os membros por 48.

r = 4 cm

O raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo mede 4 cm.

Aprenda mais:

• Observe na equação ① que (12 + 16 + 20) é o perímetro (P) do triângulo retângulo e 12 · 16 é o dobro de sua área (S). Substitua P e S na equação ①.

(12 + 16 + 20) ⋅ r = 12 · 16 ①

P ⋅ r = 2S ⟹ Divida ambos os membros por 2.

$\large \sf \dfrac{P}{2} \times r = S$

• Observe que a metade do perímetro é o semiperímetro (p). Substitua P/2 por p.

p ⋅ r = S

S = p ⋅ r onde:

S: área do triângulo.

p: semiperímetro do triângulo.

r: raio da circunferência inscrita no triângulo.

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