Matemática, perguntado por silveiraalvess, 1 ano atrás

qual e o quinquagesimo nono termo da pa (3,7,...)

Soluções para a tarefa

Respondido por AlexFranca

Para sabermos o termo 59 ou a59, temos que saber o primeiro termo a1 e a razão, r. Pelo enunciado, a1 é 3 e a razão é 4, pois a2-a1 = r, então 7-3 = 4.

Sendo assim, temos:
an = a1 + (n-1)*r
a59 =3 + 58 * 4
a59 = 3 + 232
a59 = 235

Resposta: o quinquagésimo nono termo da PA é 235.

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (3, 7,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:3

c)quinquagésimo nono termo (a₅₉): ?

d)número de termos (n): 59

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 59ª), equivalente ao número de termos.

e)Embora não se saiba o valor do quinquagésimo nono termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita dele, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 7 - 3 ⇒

r = 4 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o quinquagésimo nono termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₅₉ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₅₉ = 3 + (59 - 1) . (4) ⇒

a₅₉ = 3 + (58) . (4) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₅₉ = 3 + 232 ⇒

a₅₉ = 235

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O quinquagésimo nono termo da P.A.(3, 7,...) é 235.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₅₉ = 235 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o quinquagésimo nono termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₅₉ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

235 = a₁ + (59 - 1) . (4) ⇒

235 = a₁ + (58) . (4) ⇒

235 = a₁ + 232 ⇒ (Passa-se 232 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

235 - 232 = a₁ ⇒

3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 3 (Provado que a₅₉ = 235.)

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