Question

Qual é o produto dos quadrados dos valores de x para os
quais o valor numérico do polinômio (elevado á 5) − (elevado a 3) − 8 (elevado a 2) + 8 = 0?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{64}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, existem diversas maneiras.

Podemos encontrar as raízes do polinômio, utilizando fatoração e o algoritmo prático de Briot-Ruffini ou relembrar as relações de Girard.

Dada uma equação algébrica de grau 5: $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$, a partir das relações de Girard, sabemos que caso existam as soluções para esta equação, sendo elas $x_1,~x_2,~x_3,~x_4~e~x_5$, seu produto é dado pela fórmula:

$P=(-1)^n\cdot\dfrac{a_0}{a_n}$, tal que $n$ é o grau do polinômio, $a_0$ é o termo independente e $a_n$ é o termo dominante. Na nossa equação, $n=5$, logo:

$P=(-1)^5\cdot \dfrac{f}{a}$

Calculando a potência, temos:

$P=-\dfrac{f}{a}$

Temos a seguinte equação: $x^5-x^3-8x^2+8=0$

Observe que os termos de grau $4$ e $2$ não aparecem, logo isto significa que seus coeficientes são iguais a zero.

O produto das raízes será: $P=-\dfrac{8}{1}$

Calculando a fração, temos que

$P=-8$

Como buscamos o produto dos quadrados dos valores de $x$ que satisfazem a equação algébrica, lembre-se da propriedade de potência: $a^2\cdot b^2\cdots=(a\cdot b\cdots)^2$, logo

$P^2=(-8)^2$

Calcule a potência

$P^2=64$

Este é o valor que procurávamos. Em anexo, temos a demonstração deste resultado a partir das outras maneiras comentadas acima.

2fc11d2db5842e41bc096df9e129c435.pdf