Question

Qual é o polígono convexo cujo número de lados é igual ao dobro do número de diagonais?

Answer 1

A fórmula do número de diagonais de um polígono convexo é :

$\Large \begin{array}{l} \boxed{\mathtt{d = \frac{n.(n-3)}{2}}} \end{array}$

Agora basta substituir "n" lados por 2d:

$\Large \begin{array}{l} d = \frac{n.(n-3)}{2} \\ \\ d = \frac{2d.(2d-3)}{2} \\ \\ 2d = 4d^{2} - 6d \\ \\ 4d^{2} - 8d = 0 \\ \\ \end{array}$

Caiu numa equação do segundo grau, resolvendo essa qeuação do segundo grau:

$\Large \begin{array}{l}4d^{2} - 8d = 0 \\ \\ \Delta = b^{2} - 4a.c \\ \\ \Delta = 64 \\ \\ \\ \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2.a} = \frac{8+8}{8}= 2 \\ \\ ou \\ \\ \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2.a} = \frac{8-8}{8}= 0 \end{array}$

Ou seja, o polígono tem 2 diagonais.

Como o número de lados é igual ao dobro diagonais, temos:

$\longrightarrow Lados = 2.Diagonais$

Como o número de diagonais é igual a 2:

$Lados = 2.2 \\ \\ \boxed{\mathtt{Lados = 4}} \\ \\ \\ 4~lados = Quadrado$

Qualquer dúvida perguntar nos cometários.

$Bons~Estudos~:)$ $\heartsuit$