Question

Qual e o polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos e o quádruplo da soma das medidas dos ângulos externos?

Awn
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Answer 1

A soma das medidas dos ângulos internos é dada por:

Si = 180°.(n - 2)

onde n é o número de lados do polígono

A soma das medidas dos ângulos externos é 360, em todos os polígonos.

Se = 360°

Pelo enunciado da questão, temos:

Si = 4.Se

Logo:

180.(n - 2) = 4.360

180n - 360 = 1440

180n = 1440 + 360

180n = 1800

n = 1800/180

n = 10

Portanto, o polígono tem 10 lados.

É um DECÁGONO.

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o polígono procurado é:

             $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Dec\acute{a}gono\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sabendo que a soma dos ângulos internos "Si" de um polígono regular e convexo, com um número de lados "n" pode ser calculada pela seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$           $\Large\displaystyle\begin{gathered} S_{i} = (n - 2)\cdot180^{\circ}\end{gathered}$  

Sabendo, também que a soma dos ângulos externos de qualquer polígono regular e convexo é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}S_{e} = 360^{\circ} \end{gathered}$

Se queremos saber qual é o polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é o quádruplo da soma das medidas dos ângulos externos, devemos fazer o seguinte:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(III) \end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} S_{i} = 4S_{e}\end{gathered}$

Inserindo os valores de "Si" e "Se" na equação "III", temos:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} (n - 2)\cdot180^{\circ} = 4\cdot360^{\circ}\end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} (n - 2)\cdot180^{\circ} = 1440^{\circ}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} n - 2 = \frac{1440^{\circ}}{180^{\circ}} \end{gathered} }$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} n - 2 = 8\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = 8 + 2\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = 10\end{gathered}$

✅ Portanto, o número de lados do referido polígono é:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = 10\end{gathered}$

✅ Portanto, o polígono procurado é:

                        $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} Dec\acute{a}gono\end{gathered}$

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