Question

Qual é o período e a imagem da função f: R→R dada por:
f(x) = sen4x . cos2x . cos3x – sen4x . sen2x . sen3x + cos4x .
sen2x . cos3x + cos4x . sen3x . cos2x?

Answer 1

Resposta:

período = 2π / 9

Imagem = [-1, 1]

Explicação passo-a-passo:

• Função periódica:

Uma função $\mathsf{f:R \rightarrow R}$ chama-se periódica quando existe um número p diferente de zero chamado período tal que:

$\boxed{\mathsf{f(x+p)=f(x)}}$

Em outras palavras o período é o menor valor de p tal que a

função se repete.

• Imagem de uma função

Imagem (também chamado de contradomínio) é o conjunto

de todos os valores que a função pode assumir quando

substituímos o valor de x.

Escrevemos esse conjunto como Im f.

• Solução:

1. Vamos simplificar a expressão coletando os fatores comuns. Temos:

$\mathsf{f(x)=sen\,4x\cdot(cos\,2x\cdot cos\,3x-sen\,2x\cdot sen\,3x)+cos\,4x\cdot (sen\,2x\cdot cos\,3x+sen\,3x\cdot cos\,2x)}$

2. Lembrando das fórmulas de seno e cosseno da soma:

$\mathsf{sen(a+b)=sen\,a\cdot cos\,b+sen\,b\cdot cos\,a}$

$\mathsf{cos(a+b)=cos\,a\cdot cos\,b-sen\,a\cdot sen\,b}$

3. Supondo a = 2x e b = 3x, obtemos:

$\mathsf{f(x)=sen\,4x\cdot (cos(2x+3x))+cos\,4x\cdot (sen(2x+3x))}\\\\\mathsf{f(x)=sen\,4x\cdot cos\,5x+sen\,5x\cdot cos\,4x}$

4. Usando mais uma vez a fórmula de seno da soma e

supondo que a = 4x e b = 5x, temos:

$\mathsf{f(x)=sen(4x+5x)}$

$\boxed{\mathsf{\therefore f(x)=sen(9x)}}$

5. O período é portanto:

$\boxed{\mathsf{p=\dfrac{2\pi}{9}}}$

6. E o (conjunto) imagem é:

$\boxed{\mathsf{Im\,f=[-1,\,1]}}$

O esboço do gráfico é dado pela figura abaixo.

Continue aprendendo com o link abaixo:

Gráfico e período da função seno

https://brainly.com.br/tarefa/25625267

Bons estudos! =D

Equipe Brainly