Question

Qual é o papel do discriminante na resolução de equacao de segundo grau?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Peixinha, que o discriminante de uma equação do 2º grau é importante porquê:

i) Se o discriminante for MAIOR do que zero, então você já sabe que a equação terá duas raízes reais e distintas.

ii) Se o discriminante for IGUAL a zero, então você já sabe que a equação terá uma raiz real dupla (ou seja, ela terá duas raízes reais e ambas iguais).

iii) Se o discriminante for MENOR do que zero, então você já sabe que a equação NÃO terá raízes reais, mas apenas raízes complexas).

Vamos dar exemplos para cada caso.

i) x² - 5x + 6 = 0 ----- note que os coeficientes desta equação bem como o seu Δ (que é o discriminante) são estes:

a = 1 --- (é o coeficiente de x²)
b = -5 --- (é o coeficiente de x)
c = 6 ---- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b²-4ac = (-5)² - 4*1*6 = 25-24 = 1.

Assim, aplicando Bháskara, cuja fórmula é esta:

x = [-b ± √(Δ)]/2*a ----- fazendo as devidas substituições, teremos:
x = [-(-5) ± √(1)]/2*1
x = [5 ± √(1)]/2 ---- como √(1) = 1, teremos:
x = [5 ± 1]/2 ---- daqui você já conclui que:
x' = (5-1)/ = 4/2 = 2
x'' = (5+1)/2 = 6/2 = 3

Veja: como o discriminante (Δ) deu maior do que zero, então a equação teve duas raízes reais e distintas, que foram: x' = 2 e x'' = 3.

ii) x² - 4x + 4 = 0 ----note que aqui os coeficientes e o discriminante (Δ) são estes:

a = 1 --- (é o coeficiente de x²)
b = - 4 --- (é o coeficiente de x)
c = 4 --- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b²-4ac = (-4)² - 4*1*4 = 16 - 16 = 0

Assim, aplicando Bháskara, teremos:

x = [-b±√(Δ)]/2*a ---- fazendo as devidas substituições, teremos;
x = [-(-4)±√(0)]/2*1
x = [4 ± √(0)]/2 ---- como √(0) = 0, teremos;
x = (4 ± 0)/2 ---- daqui você já conclui que:
x' = (4-0)/2 = 4/2 = 2
x'' = (4+0)/2 = 4/2 = 2.

Como você viu, como o discriminante (Δ) deu igual a zero, então a equação tem uma raiz real dupla (ou seja tem duas raízes reais mas ambas iguais a "2": x' = x'' = 2).

iii) x² - x + 2 = 0 ---- note que os coeficientes e o discriminante (Δ) são estes:

a = 1
b = - 1
c = 2
Δ = b²-4ac = (-1)² - 4*1*2 = 1 - 8 = - 7.

Assim, aplicando a fórmula de Bháskara, teremos:


x = [-(-1) ± √(-7)]/2*1
x = [1 ± √(-7)]/2 --- note que √(-7) = √(7)*√(-1). Assim, teremos:
x = [1 ± √(7)*√(-1)]/2 --- note que, nos complexos, √(-1) = i. Assim:
x = [1 ± √(7)i]/2 -- ou, o que é a mesma coisa:
x = [1 ± i√(7)]/2 ---- daqui você conclui que:

x' = (1-i√7)/2
x'' = (1+i√7)/2

Veja: como o discriminante deu menor do que zero, então as raízes encontradas NÃO foram raízes reais, mas raízes complexas, que foram: x' = (1-i√7)/2 e x'' = (1+i√7)/2.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.