Question

Qual é o oitavo termo da P.A. (1,3/2,2,...)?

Answer 1

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (1, 3/2, 2, ...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 1

b)oitavo termo (a₈): ?

c)número de termos (n): 8 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 8ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do oitavo termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = (3/2) - 1 ⇒        (O m.m.c entre 1 e 2 é 2.)

r = (3-2)/2 ⇒

r = 1/2

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o oitavo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₈ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₈ = 1 + (8 - 1) . (1/2) ⇒

a₈ = 1 + (7) . (1/2) ⇒         (Veja a Observação 2.)

a₈ = 1 + (7/2) ⇒                (Conforme dito, o m.m.c entre 1 e 2 é 2.)

a₈ = (2+7)/2

a₈ = 9/2

Observação 2:  Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 8º termo da P.A(1, 3/2, 2, ...) é 9/2.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₈ = 9/2 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o oitavo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₈ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

9/2 = a₁ + (8 - 1) . (1/2) ⇒

9/2 = a₁ + (7) . (1/2) ⇒

9/2 = a₁ + (7/2) ⇒       (Passa-se 7/2 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

(9/2) - (7/2) = a₁ ⇒      (Veja a Observação 3.)

2/2 = a₁  ⇒

1 = a ₁ ⇔                     (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 6                          (Provado que a₈ = 9/2.)

Observação 3: Em uma subtração entre frações que apresentem o mesmo denominador, basta conservá-lo e somar os numeradores. No caso acima foi conservado o denominador 2 e subtraídos os numeradores 9 e 7.

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