Qual é o número de termos da PA (9, 13, 17, ..., 49)?
Soluções para a tarefa
Resposta:
ai precisam do numero de termos e no termo geral de uma PA an=a1+(n-1)d n representa a ordem do termo e no exercício dão o ultimo termo, que em outras palavras pode se dizer n-esimo termo então é só substituir na formula e isolar o n, assim
49=9+(n-1)d, veja que no exercício não dão a razão então terás que calcular recorrendo aos termos dados lodo (an+1)-an=d então 13-9=d d=4, já temos a razão, então voltamos a 49=9+(n-1)d
49=9+4n-4
49=4n+5
4n=49-5
4n=44
n=44/4
n=11, logo a PA tem 11 termos.
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (9, 13, 17, ..., 49), tem-se que:
a)trata-se de uma progressão aritmética (P.A.) finita, porque se sabe qual é o último termo, embora não se conheça a sua posição, a ordem em que ele se encontra na referida sequência;
b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:9
c)último termo (an): 49 (Chama-se último termo ou enésimo termo porque não se conhece a posição (a ordem) que ele ocupa na progressão.)
d)número de termos (n): ? (Embora não se saiba o seu valor, necessariamente se diz que será positivo e inteiro, porque não existe indicação de quantidade por meio de números negativos e de decimais.)
e)por meio da observação dos dois primeiros termos e do último da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer).
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 13 - 9 ⇒
r = 4 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o número de termos:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
49 = 9 + (n - 1) . (4) ⇒
49 = 9 + 4n - 4 ⇒
49 = 5 + 4n ⇒
49 - 5 = 4n ⇒
44 = 4n ⇒
44/4 = n ⇒
11 = n ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
n = 11
Resposta: O número de termos da P.A.(9, 13, 17, ..., 49) é 11.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo n = 11 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o número de termos realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
49 = a₁ + (11 - 1) . (4) ⇒
49 = a₁ + (10) . (4) ⇒ (Veja a Observação 2.)
49 = a₁ + 40 ⇒
49 - 40 = a₁ ⇒
9 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 9 (Provado que n = 11.)
Observação 2: Na parte destacada, foi aplicada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).
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