Question

Qual é o número complexo z, em que z²: 3+4i ?

Answer 1

nuem complexo Z=a+bi

Z²=3+4i
(a+bi)²=3+4i
a²+2abi+(bi)²=3+4i
a²+2abi+b².i²=3+4i
a²+2abi+b².-1=3+4i
a²+2abi-b²=3+4i
a²-b²+2abi=3+4i

a²-b²=3
2ab=4

eu igualei parte imaginaria com imaginaria e real com real (cai num sistema linear)

2ab=4
ab=4/2
ab=2
a=2/b

a²-b²=3
(2/b)²-b²=3
4/b²-b²=3
4/b²=3+b²
4=3b²+b^4
b^4 + 3b² -4=0

chama b²=y

b^4 +3b²-4=0
(b²)² +3b² -4=0

agora onde tem b²=a (fiz isso pra facilitar a conta pois nao da pra resolver uma equaçao do quarto grau)

y²+3y-4=0

taca baskaras e vc vai achar que y=-4 ou y=1

mas como eu disse y=b² e nenhum numero elevado ao quadrado da algo negativo entao -4 nao pode ser, fica so com y=1

b²=y
b²=1
b=√1
b=+/-1

pra achar a substitui "b" em uma relaçao que tem "a"

ab=2

como temos dois valores de "b" teremos dois valores de "a" tbm

a.-1=2
a= -2

ou

a.1=2
a=2

a=-2 ou 2
b= -1 ou 1

montando

Z=a+bi
Z= -2+ -1i
Z= -2-i

ou

Z= 2+1i
Z= 2+i

uma observaçao na hora de montar o Z=a+bi

tipo se com b valendo 1 que eu achei o a=2 entao eu so vou usar esses dois valores pra montar o complexo.

nao posso usar qualquer a, se eu usei o b= -1 pra achar o -2 entao eu vou usar so eles pra montar o complexo. Nao posso pega o "a" de uma nem o "b" de outra.

Answer 2

Como está elevado ao quadrado, há duas soluções para 'z''. Para k= 0 e k=1.
z²=3+4i

lz²l = 9+16
lz²l = 25
lz²l = 5

θ = 53 

cosθ = a/5
a=5.cosθ 

senθ =b/5
b=senθ .5


Fórmula de moivre:

Para k = 0

z² = a+bi
z² = 5(cos53  + i.sen53 )
z=√5 ( cos(53/2) + i.sen(53/2) )
z=√5.(0,9 + i.0,45)
z= 2+i   ( solução 1 )

Para k =1

26,5+360 = 386,5/2

z= √5.(cos386,5 + i.sen385,)
z= √5.(-0,98 -0,22i)
z=-2,19 -0,49 i   ( solução 2 )