Question

Qual é o menor valor obtido para sen x + cos X?

Answer 1

Calcular o valor mínimo da função

$f(x)=\mathrm{sen\,}x+\cos x$



Temos uma soma de seno com cosseno de um mesmo ângulo x. É possível reescrever a lei de $f(x)$ como

$f(x)=R\cos(x+\varphi)$

para algum R > 0, e algum ângulo φ.



Expandido o cosseno da soma, temos:

$f(x)=R(\cos x\cos\varphi -\mathrm{sen\,}x\,\mathrm{sen\,}\varphi)\\\\ f(x)=(R\cos\varphi)\cos x+(-R\,\mathrm{sen\,}\varphi)\mathrm{sen\,}x$



Igualando com a lei que foi dada,

$\mathrm{sen\,}x+\cos x=(R\cos\varphi)\cos x+(-R\,\mathrm{sen\,}\varphi)\mathrm{sen\,}x\\\\ 1\cos x +1\,\mathrm{sen\,}x=(R\cos\varphi)\cos x+(-R\,\mathrm{sen\,}\varphi)\mathrm{sen\,}x$



Daqui, devemos ter

$\left\{\!\begin{array}{r}R\cos\varphi=1\\\\ -R\,\mathrm{sen\,}\varphi=1\end{array}\right.$



Eleve os dois lados das equações ao quadrado, e some membro a membro:

$\left\{\!\begin{array}{r}(R\cos\varphi)^2=1^2\\\\ (-R\,\mathrm{sen\,}\varphi)^2=1^2\end{array}\right.\\\\\\ \left\{\!\begin{array}{r}R^2\cos^2\varphi=1\\\\ R^2\,\mathrm{sen^2\,}\varphi=1\end{array}\right.\\\\\\ R^2\cos^2\varphi+R^2\,\mathrm{sen^2\,}\varphi=1+1\\\\ R^2(\cos^2\varphi+\mathrm{sen^2\,}\varphi)=2\\\\ R^2=2\\\\ R=\sqrt{2}$



E o ângulo φ será tal que

$\left\{\!\begin{array}{r}R\cos\varphi=1\\\\ -R\,\mathrm{sen\,}\varphi=1\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\{\!\begin{array}{l}\cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\ \mathrm{sen\,}\varphi=-\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right.$



Podemos tomar então $\varphi=-\,\dfrac{\pi}{4}.$ Assim, a lei de $f$ pode ser dada por

$f(x)=\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$



e assumirá valor mínimo quando $\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1.$ O valor mínimo de $f$ é

$f_{\mathrm{min}}=\sqrt{2}\cdot (-1)\\\\ f_{\mathrm{min}}=-\,\sqrt{2}\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$

Bons estudos! :-)