Question

Qual é o menor valor de x que verifica a equação: tgx + 3cotgx = 3?

a) x = pi/4.
b) para todo x e (0, pi/2).
c) para nenhum valor de x.
d) para todo valor de x ≠ n.pi/2 onde n = 0, ± 1, ± 2,...
e) apenas para x no 3º quadrante.

Answer 1

Olá vmlcs.

identidade trigonométrica utilizada

$\star~~\boxed{\boxed{\mathsf{cotg~x=\dfrac{1}{tg~x}}}}\\\\\\\star~~\boxed{\boxed{\mathsf{(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2}}}$

__________

Organizando a equação

$\mathsf{tg~x+3cotg~x=3}$

Vamos substituir cotg x pela propriedade acima.

$\mathsf{tg~x+3\cdot \dfrac{1}{tg~x}=3}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por tg x

$\mathsf{tg^2~x+3=tg~x}\\\\\\\mathsf{tg^2x-tg~x+3=0 }$

Substitua tg x por y

$\mathsf{y^2-y+3=0}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por 4

$\mathsf{4y^2-4y+12=0}\\\\\\\mathsf{(2y)^2-2\cdot 2y+1^2+11=0}\\\\\\\mathsf{(2y-1)^2=-11}$

Note que chegamos a igualdade de um fator elevado ao quadrado com um número negativo. Um número elevado ao quadrado jamais retorna um valor negativo, e no caso acima teríamos somente soluções no conjunto dos complexos (que não convém).

Portanto, não existe solução.


Resposta : C


Dúvidas ? Comente.