Question

Qual é o menor múltiplo de 13, que dividido por 15, 24 ou 40 deixa sempre resto 10? (é sobre mmc)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathtt{140}}$

Explicação passo-a-passo:

Seja $\displaystyle \mathtt{13k}$ o número múltiplo de 13, onde $\displaystyle \mathtt{k \in \mathbb{N^{\ast}}}$. Desse modo, o número procurado será representado por $\displaystyle \mathtt{13k + 10}$.

De acordo com o enunciado, $\displaystyle \mathtt{\exists \, q', \, q'' \, e \, q'''}$, tal que:

$\\ \displaystyle \mathtt{\bullet \qquad 13k = 15q' + 10} \\\\ \mathtt{\bullet \qquad 13k = 24q'' + 10} \\\\ \mathtt{\bullet \qquad 13k = 40q''' + 10}$

Igualando,

$\\ \displaystyle \mathsf{13k = 13k = 13k} \\\\ \mathsf{15q' + 10 = 24q'' + 10 = 40q''' + 10} \\\\ \mathsf{15q' = 24q'' = 40q'''} \\\\ \mathsf{3 \cdot 5 \cdot q' = 2^3 \cdot 3 \cdot q'' = 2^3 \cdot 5 \cdot q'''}$

Por comparação, fica fácil perceber que: $\displaystyle \boxed{\mathtt{q' = 2^3}}$, $\displaystyle \boxed{\mathtt{q'' = 5}}$ e $\displaystyle \boxed{\mathtt{q''' = 3}}$

Portanto,

$\\ \displaystyle \mathsf{13k = 40q''' + 10} \\\\ \mathsf{13k = 40 \cdot 3 + 10} \\\\ \mathsf{13k = 120 + 10} \\\\ \mathsf{13k = 130} \\\\ \boxed{\mathsf{k = 10}}$

Logo, o número procurado é:

$\\ \displaystyle \mathsf{13k + 10 = 13 \cdot 10 + 10} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{13k + 10 = 140}}}$