Question

qual é o limite de LIM x →∞(3x³+4x²-2x+1)/(4x²-8x+3).

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Vilipedro, que a resolução também é simples, a exemplo das duas outras questões suas que resolvemos sobre este mesmo assunto.
Tem-se;

lim (3x³+4x²-2x+1)/(4x²-8x+3)
x-->+∞

Veja: se formos substituir o "x" diretamente por "∞" vamos, no final, encontrar algo como "∞/∞", o que é uma indeterminação. Então, para levantar essas indeterminação vamos encontrar as derivadas sucessivas do numerador e do denominador, de forma independente, até que a indeterminação tenha sido levantada. Vamos ver isso.

i) Derivando, pela primeira vez, a expressão acima, iremos encontrar isto:

lim (9x²+8x-2)/(8x-8)
x-->+∞

Veja que perdura a indeterminação se formos substituir, na expressão acima, o "x' ' por "∞". Então vamos derivar novamente numerador e denominador de forma independente. Vamos ver.

ii) Derivando, pela segunda vez, a expressão encontrada no item "i" acima, teremos isto:

lim (18x - 8)/(8)
x-->+∞

Note que agora já poderemos substituir o "x" por "∞" e teremos o valor do limite pedido. Assim:

(18*∞ - 8)/8 = ∞/8 = ∞ <--- Esta é a resposta. Ou seja, temos que:

lim (3x³+4x²-2x+1)/(4x²-8x+3) = ∞ <--- Esta é a resposta.
x-->+∞

Veja: se temos "∞" sobre algum número positivo, o resultado vai ser tão grande, mas tão grande, que tende ao próprio "∞"

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.