Question

Qual é o limite da função y = (2x² - 5x - 33) / (x² + 4x + 3) quando x tende -3?

A) 17/4
B) -17/2
C) 17/2
D) -5/4
E)-5/2

Answer 1

Primeiro passo para resolver um limite é tentar substituir o valor de x na função e conferir se há algum problema.

$\lim _{x\to -3}\frac{2x^2-5x-33}{x^2+4x+3}=\frac{2*(-3)^2-5*(-3)-33}{(-3)^2+4*(-3)+3}=\frac{18+15-33}{9-12+3}=\frac{0}{0}$

0/0 é um problema, pois é um valor desconhecido, e devemos encontrá-lo. Para isso existe algumas técnicas de resolução, e uma delas é a fatoração.

Vamos fatorar os dois polinômios.

$2x^2-5x-33\\ (a=2;b=-5;c=-33)\\\\x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\x=\frac{5\pm\sqrt{25+264}}{4}\\\\x=\frac{5\pm 17}{4} \implies \mathsf{ \left \{ {{x_1=\frac{11}{2}} \atop {x_2=-3}} \right. }\\\\ax^2+bx+c=a*(x-x_1)*(x-x_2)\\2x^2-5x-33=2*(x-\frac{11}{2})*(x+3)\\2x^2-5x-33=(2x-11)*(x+3)\\\\\\x^2+4x+3\\(a=1;b=4;c=3)\\\\x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\x=\frac{-4\pm\sqrt{16-12}}{2}\\\\x=\frac{-4\pm 2}{2}\\\\x=-2\pm 1 \implies \mathsf{ \left \{ {{x_1=-1} \atop {x_2=-3}} \right. }$

$ax^2+bx+c=a*(x-x_1)*(x-x_2)\\x^2+4x+3=1*(x-(-1))*(x-(-3))\\x^2+4x+3=(x+1)*(x+3)$

Assim, o limite fica:

$\lim_{x\to-3}\frac{(2x-11)*(x+3)}{(x+1)*(x+3}$

Podemos cortar o fator (x+3), pois nosso x que iremos substituir não será exatamente 3, mas tenderá ao 3, evitando a indeterminação 0/0 da função.

$\lim_{x\to -3}\frac{2x-11}{x+1}$

Podemos agora substituir e encontrar, finalmente, o limite.

$\lim_{x\to -3}\frac{2x-11}{x+1}=\frac{2*(-3)-11}{-3+1}=\frac{-6-11}{-2}\\\\\mathsf{\boxed{\lim _{x\to -3}\frac{2x^2-5x-33}{x^2+4x+3}=\frac{17}{2}}}$

Alternativa C

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