Question

Qual é o limite a seguir?

lim (x+(2/x))^3x
x-->infinito(positivo)


Tenho quase certeza que o resultado é infinito, mas não sei como demonstrar isso)

Answer 1

Olá!

Ficou meio ambíguo a equação, vamos considerar que seja elevado a 3:

$\lim_{x \to \infty} ((x+(2/x))^3x$

Usando a seguinte propriedade de limite:

$\lim_{x\to a} f[x]*g[x] = \lim_{x\to a} f[x]*\lim_{x\to a} g[x]$

Então podemos resolver partindo dessa propriedade:

$\lim_{x \to \infty} ((x+(2/x))^3x= \lim_{x\to \infty} ((x+(2/x))^3)*\lim_{x\to \infty} x$

Primeiro vamos analisar o primeiro limite:

$\lim_{x\to \infty} ((x+(2/x))^3)$

A fração 2/x é igual a 0, pois um numero qualquer dividido por um x muito grande é igual a 0. Somar 0 a x, onde x tende ao numero muito grande é igual ao próprio numero muito grande. Esse numero muito grande de x elevado ao cubo é igual ao outro numero muito grande, então é igual a infinito.

Analisando o segundo limite:

$\lim_{x\to \infty} x$ 

Este é igual a infinito logo de cara, pois a variável x tende ao infinito.

Agora multiplicando os dois limites temos ∞ *∞ = ∞

Então a resposta é mesmo ∞