Question

qual é o lim de x²-4/√x+2-√3x-2, x tendendo a 2?

Answer 1

Calcular o limite da função

     $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}$


Ao aplicar o limites, temos uma indeterminação do tipo  0/0.  Para eliminá-la, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é  $(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}):$

    $=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{(x^2-4)\cdot (\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}{(\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2})\cdot (\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}$


No denominador, temos o produto de uma soma por uma diferença. Expanda usando produtos notáveis:

     $\displaystyle=\lim_{x\to 2}\frac{(x^2-4)\cdot (\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}{(\sqrt{x+2})^2-(\sqrt{3x-2})^2}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}\frac{(x^2-4)\cdot (\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}{(x+2)-(3x-2)}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}\frac{(x^2-4)\cdot (\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}{x+2-3x+2}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}\frac{(x^2-4)\cdot (\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}{-\,2x+4}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}\frac{(x^2-4)\cdot (\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}{-\,2\cdot (x-2)}$


No numerador, temos o polinômio   x² − 4,  que pode ser fatorado.  Enxergando-o como a diferença entre dois quadrados,

      $\displaystyle=\lim_{x\to 2}\frac{(x^2-2^2)\cdot (\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}{-\,2\cdot (x-2)}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)\cdot (x+2)\cdot (\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}{-\,2\cdot (x-2)}$


Simplifique o fator comum  (x − 2)  que apareceu:

     $=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{(x+2)\cdot (\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}{-\,2}\\\\\\ =\dfrac{(2+2)\cdot (\sqrt{2+2}+\sqrt{3\cdot 2-2})}{-\,2}\\\\\\ =\dfrac{4\cdot (\sqrt{4}+\sqrt{6-2})}{-\,2}\\\\\\ =\dfrac{4\cdot (\sqrt{4}+\sqrt{4})}{-\,2}\\\\\\ =\dfrac{4\cdot (2+2)}{-\,2}$

     $=\dfrac{4\cdot 4}{-\,2}\\\\\\ =\dfrac{16}{-\,2}$

     $=-\,8$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)