Qual é o desenvolvimento de (a+b+c)2
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Resposta:
Explicação passo a passo:
(A+B+C)² =
A² + AB + AC + BA + B² + BC + CA + CB+ C² =
A² + B² + C² + 2AB + 2AC +2BC
O desenvolvimento do quadrado da soma desse três termos é:
a² + 2ab + 2ac + b² + 2bc + c²
Produtos notáveis
Primeiramente, para respondermos essa questão, vamos entender um pouco sobre produtos notáveis.
Produtos notáveis geralmente são feitos com o potência (quadrado, cubo) da soma ou da diferença entre dois termos.
Nessa questão, temos um caso especial, que é o quadrado da soma de três termos.
Desse modo, podemos realizar a propriedade distributiva, para desenvolver essa operação, multiplicando um termo por outro de cada vez.
Assim, primeiro multiplicaremos o a pelo a, depois b e c do segundo termo, depois repetiremos o processo com os outros dois termos, juntando os semelhantes ao final.
Assim, temos:
(a + b + c)² =
(a + b + c) . (a + b + c) =
(a . a) + (a . b) + (a . c) + (b . a) + (b . b) + (b . c) + (c . a) + (c . b) + (c . c) =
a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c² =
Agora que já multiplicamos tudo, vamos observar que tem alguns termos repetido se somando, que é a mesma coisa dele multiplicado por 2, então vamos simplificar:
a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c² =
Os termos marcados iguais (negrito, itálico e sublinhado) são os termos que vamos multiplicar por 2.
a² + 2ab + 2ac + b² + 2bc + c²
Assim, temos que essa equação não tem mais como ser simplificada, então é o resultado desse produto notável.
Portanto, o desenvolvimento de (a + b + c)² é a² + 2ab + 2ac + b² + 2bc + c².
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