Question

Qual é o delta do limite abaixo.

lim(x^2-2x+1)=1 ; €=0,001
x->2​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Temos que:

$lim_{x - > 2}( {x}^{2} - 2x + 1) = 1$

e ε = 0,001

Pela definição formal de limites:

$∀ε > 0 \: , \: ∃δ > 0 \: tal \: que \: 0 < |x - 2| < δ = > | {x}^{2} - 2 x + 1 - 1 | < ε$

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$= > | {x}^{2} - 2x | < 0.001$

$= > |x(x - 2)| < 0.001$

$= > |x| |x - 2| < 0.001$

$= > |x - 2| < \frac{0.001}{ |x| }$

Agora tomando

$δ \leqslant 1$

Assim

$= > |x - 2| < 1$

$- 1 < x - 2 < 1$

Somando 2

$- 1 + 2 < x - 2 + 2 < 1 + 2$

$1 < x < 3$

Assim, podemos tomar

$|x| < 3$

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$= > |x - 2| < \frac{0.001}{ |x| }$

$= > |x - 2| < \frac{0.001}{3}$

$= > |x - 2| < \frac{ \frac{1}{1000} }{3}$

$= > | x - 2 | < \frac{1}{1000} . \frac{1}{3}$

$= > |x - 2| < \frac{1}{3000}$

Dessa forma, tomando

$δ = \frac{1}{3000}$