Qual é o décimo termo da Progressão Aritmética (3,12,...)? *
Soluções para a tarefa
Resposta:
84
Explicação passo-a-passo:
12-3=q
q=9
An=a1+(n-1)q
An=3+(10-1)9
An=3+(9)*9
An=3+81
An=84
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (3, 12,...), tem-se:
a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 3
b)décimo termo (a₁₀): ?
c)número de termos (n): 10 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 10ª), equivalente ao número de termos.)
d)Embora não se saiba o valor do décimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 12 - 3 ⇒
r = 9 (Razão positiva, conforme prenunciado no item d acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o décimo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₁₀ = 3 + (10 - 1) . (9) ⇒
a₁₀ = 3 + (9) . (9) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₁₀ = 3 + 81 ⇒
a₁₀ = 84
Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).
Resposta: O 10º termo da P.A(3, 12, ...) é 84.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₁₀ = 84 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
84 = a₁ + (10 - 1) . (9) ⇒
84 = a₁ + (9) . (9) ⇒
84 = a₁ + 81 ⇒ (Passa-se 81 ao 1º membro e altera-se o sinal.)
84 - 81 = a₁ ⇒
3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 3 (Provado que a₁₀ = 84.)
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