Matemática, perguntado por danielsk90, 1 ano atrás

QUAL É O DÉCIMO E DÉCIMO QUINTO TERMO DA PA (13,10,7,...)

Soluções para a tarefa

Respondido por PauloLuis

r = a2 - a1
r = 10 - 13
r = -3

a10 = 13 + (10 - 1).(-3)
a10 = 13 + 9.(-3)
a10 = 13 - 27
a10 = -14

a15 = 13 + (15 - 1).(-3)
a15 = 13 + 14.(-3)
a15 = 13 - 42
a15 = -29

danielsk90: Obrigado por me ajudar nessa dúvida!

PauloLuis: De nada.

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (13, 10, 7,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:13

c)décimo termo (a₁₀): ?

d)décimo quinto termo (a₁₅): ?

e)número de termos (n): 10 e 15

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 10ª e 15ª), equivalente ao número de termos.

f)Embora não se saibam os valores do décimo e do décimo quinto termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será negativa (afinal, os valores dos termos de decrescem, aproximam-se do zero, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer) e os termos solicitados igualmente serão menores que zero (basta ver que o terceiro termo indica sete unidades antes do zero, o número imediatamente anterior ao primeiro negativo, de modo que se se considerarem as três unidades entre cada termo e que do terceiro ao décimo há sete termos e ao décimo quinto há doze termos, têm-se, respectivamente, vinte e uma unidades e trinta e seis unidades, mais do que suficientes para alcançar o campo dos negativos).

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 10 - 13 ⇒

r = -3 (Razão negativa, conforme prenunciado no item f acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo e o décimo quinto termos:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀ = 13 + (10 - 1) . (-3) ⇒

a₁₀ = 13 + (9) . (-3) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₀ = 13 - 27 ⇒

a₁₀ = -14

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₅ = 13 + (15 - 1) . (-3) ⇒

a₁₅ = 13 + (14) . (-3) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₅ = 13 - 42 ⇒

a₁₅ = -29

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam sempre em sinal de negativo (-).

Resposta: O décimo e o décimo quinto termos da P.A.(13, 10, 7,...) são

-14 e -29, respectivamente.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀ = -14 e a₁₅ = -29 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo e o décimo quinto termos realmente correspondem ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

-14 = a₁ + (10 - 1) . (-3) ⇒

-14 = a₁ + (9) . (-3) ⇒

-14 = a₁ - 27 ⇒ (Passa-se -27 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

-14 + 27 = a₁ ⇒

13 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 13 (Provado que a₁₀ = -14.)

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

-29 = a₁ + (15 - 1) . (-3) ⇒

-29 = a₁ + (14) . (-3) ⇒