Question

Qual é o conjunto verdade da inequação a seguir? | x – 3 | + | x | ≤ 4

Answer 1

-4≤ x-3+x≤ 4 ====>-1≤ 2x≤ 7====>-1/2≤ x ≤ 7/2

Answer 2

Resolver em $\mathbb{R}$ a inequação

$|x-3|+|x|\leq 4$

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Vamos encontrar os pontos em que os módulos mudam de sentença:

$x-3=0~\Rightarrow~x=3\\ \\ x=0$


Então, vamos avaliar a inequação em três casos:

$\bullet\;\;$ Caso 1. $x<0:$

Se $x<0\,$ então

$x-3<-3<0~\Rightarrow~|x-3|=-(x-3)$

$|x|=-x$


Dessa forma, a inequação fica

$-(x-3)-x\leq 4\\ \\ -(x-3)-x\leq 4\\ \\ -x+3-x\leq 4\\ \\ -x-x\leq 4-3\\ \\ -2x\leq 1\\ \\ x\geq \frac{1}{-2}\\ \\ x\geq -\frac{1}{-2}$

Portanto, a solução para o caso 1 é $\frac{1}{2}\leq x<0:$

$S_{1}=\left[-\frac{1}{2},\;0 \right ).$


$\bullet\;\;$ Caso 2. $0\leq x<3:$

Se $0\leq x,$ então $|x|=x.$

Se $x<3,$ então $|x-3|=-(x-3)$

Então, a inequação fica

$-(x-3)+x\leq 4\\ \\ -x+3+x\leq 4\\ \\ 3\leq 4~~~~~~(\checkmark)$


A sentença acima é verdadeira para todo $x\in \left[0,\;3 \right ).$ Portanto, a solução para o caso 2 é

$S_{2}=\left[0,\;3 \right ).$


$\bullet\;\;$ Caso 3. $x\geq 3:$

Se $x\geq 3,$ então $|x-3|=x-3.$

Se $x\geq 3,$ então $x>0~\Rightarrow~|x|=x.$


Agora, a inequação fica

$x-3+x\leq 4\\ \\ 2x-3\leq 4\\ \\ 2x\leq 4+3\\ \\ 2x\leq 7\\ \\ x\leq \frac{7}{2}$


Portanto, o para o caso 3, devemos ter $3\leq x\leq \frac{7}{2}.$

O conjunto solução para o caso 3 é

$S_{3}=\left[3,\;\frac{7}{2} \right ].$

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A solução para a inequação é a reunião das soluções para os três casos:

$S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\\ \\ S=\left[-\frac{1}{2},\;0 \right )\cup \left[0,\;3 \right )\cup \left[3,\;\frac{7}{2} \right ]\\ \\ S=\left[-\frac{1}{2},\;\frac{7}{2} \right ]$


ou usando a notação usual,

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\left|\;-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{7}{2}\right. \right \}$