Question

qual é o conjunto solução do sistema tgx <0 sen 2x>0

Answer 1

tgx<0 para 0<x<pi/2 e pi<x<3pi/2. sen2x>0 para 0<x<pi. A solução é a intersecção das soluções, assim a resposta é 0<x<pi/2

Answer 2

Vamos lá.

Maral, pelo que está exposto na sua questão, não vemos nenhuma solução.
Veja que temos o seguinte sistema:

{tan(x) < 0
{sen(2x) > 0

Agora veja porque dizemos que o sistema não tem solução.
Note que:

tan(x) = sen(x)/cos(x)
e
sen(2x) = 2sen(x).cos(x).

Então iríamos ter isto:

sen(x)/cos(x) < 0       . (I) 
e
2sen(x).cos(x) > 0      . (II)

Da expressão (I), poderemos tirar as seguintes conclusões:

sen(x)/cos(x) < 0 ---- veja: para que o quociente acima seja negativo, teremos as seguintes possibilidades:

ou
sen(x) > 0 e cos(x) < 0

ou
sen(x) < 0 e cos(x) > 0.

Agora vamos na expressão (II), que é esta:

2sen(x).cos(x) > 0 ---- se dividirmos ambos os membros por "2", ficaremos:
sen(x).cos(x) > 0

Agora note: pela expressão (I), teremos que ter, NECESSARIAMENTE, que: ou sen(x) < 0 e cos(x) > 0, ou que: sen(x) > 0 e cos(x) < 0.

Note que jamais iríamos ter, com a condição acima, o produto sen(x).cos(x) maior do que zero, ou seja, jamais iríamos ter:

sen(x).cos(x) > 0.

Atente: se for válida a primeira possibilidade: sen(x) > 0 e cos(x) < 0, o produto acima seria negativo (e não positivo). E se for válida a segunda possibilidade: sen(x) < 0 e cos(x) > 0, o produto acima também iria ser negativo (e nunca positivo).

Então é por isso que afirmamos que a sua questão não tem solução, o que você poderá indicar o conjunto-solução da seguinte forma:

S = ∅
ou, o que é a mesma coisa:
S = { } .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.