Question

Qual é o conjunto das imagens dos complexos z tais que |z+1|=|z-1|?

a)reta
b)circunferência
c)elipse
d)hipérbole
e)parábola

Answer 1

$\large\textsf{Resposta: alternativa a) reta.}$

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$\large\begin{array}{l} \textsf{Seja }\\\\ \mathsf{z=a+bi}\\\\ \textsf{com }\mathsf{a,\,b\in\mathbb{R}.}\\\\\\ \textsf{A parte real de z \'e }\mathsf{Re(z)=a,}\\\\ \textsf{A parte imagin\'aria de z \'e }\mathsf{Im(z)=b.} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Queremos encontrar o conjunto das imagens dos complexos z}\\\textsf{(lugar geom\'etrico no plano de Argand-Gauss) que satisfa\c{c}am}\\\\ \mathsf{|z+1|=|z-1|} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{O que temos de fazer \'e resolver esta equa\c{c}\~ao para z.}\\\\ \textsf{Resolvendo,}\\\\ \mathsf{|z+1|=|z-1|}\\\\ \mathsf{|(a+bi)+1|=|(a+bi)-1|}\\\\ \mathsf{|(a+1)+bi|=|(a-1)+bi|}\\\\ \mathsf{\sqrt{(a+1)^2+b^2}=\sqrt{(a-1)^2+b^2}} \end{array}$


$\large\begin{array}{l}\\\\ \textsf{Dois n\'umeros reais n\~ao-negativos t\^em ra\'izes quadradas}\\\textsf{iguais somente se eles forem iguais:}\\\\ \mathsf{(a+1)^2+b^2=(a-1)^2+b^2}\\\\ \mathsf{a^2+2a+1+b^2=a^2-2a+1+b^2}\\\\ \mathsf{a^2+2a+1+b^2-a^2+2a-1-b^2=0}\\\\ \mathsf{a^2-a^2+2a+2a+1-1+b^2-b^2=0}\\\\ \mathsf{4a=0}\\\\ \mathsf{a=0}\\\\\\ \therefore~~\mathsf{z=bi,\quad b\in\mathbb{R}}\qquad\textsf{(z \'e imagin\'ario puro).} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{A imagem de um complexo imagin\'ario puro se encontra}\\\textsf{sobre o eixo imagin\'ario (eixo vertical do plano).}\\\\\\ \textsf{O conjunto S das imagens dos complexos z que satisfazem}\\\textsf{a equa\c{c}\~ao dada \'e}\\\\ \boxed{\begin{array}{l}\mathsf{S=\left\{(0,\,b):~b\in\mathbb{R}\right\}}\end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e uma reta no plano.}\\\\ \textsf{que geometricamente \'e a reuni\~ao de todos os pontos do}\\\textsf{plano cuja abscissa \'e 0 (pontos sobre o eixo imagin\'ario).} \end{array}$


$\large\begin{array}{l}\textsf{Resposta: alternativa a) reta.} \end{array}$

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$\large\begin{array}{l} \textsf{Nota adicional: Os n\'umeros envolvidos nos m\'odulos}\\\\ \mathsf{w_1=z+1~~e~~w_2=z-1}\\\\ \textsf{sempre podem ser escritos respectivamente na forma}\\\\ \mathsf{w_1=1+bi~~e~~w_2=-1+bi,\quad b\in\mathbb{R}.}\\\\\\ \textsf{Podemos ver que }\mathsf{w_1~e~w_2}\textsf{ possuem a mesma parte imagin\'aria,}\\\textsf{mas suas partes reais s\~ao opostas.}\\\\ \textsf{Isto significa que as imagens de }\mathsf{w_1~e~w_2}\textsf{ s\~ao sim\'etricas em}\\\textsf{rela\c{c}\~ao ao eixo imagin\'ario (veja figura em anexo).} \end{array}$

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$\large\begin{array}{l} \textsf{D\'uvidas? Comente.}\\\\\\ \textsf{Bons estudos! :-)} \end{array}$


Tags: equação módulo complexo lugar geométrico afixo imagem eixo imaginário simetria simétrico plano Argand Gauss