Question

Qual é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices A = (-4,2), B = (1,7) e C = (5,-1)?

Answer 1

Você conhece três pontos da circunferência então consegue a partir deles descobrir as incógnitas da equação:

$(x_P - x_c)^2 + (y_P - y_c)^2 = r^2$

Vou substituir os pontos na equação:

$(-4 - x_c)^2 + (2 - y_c)^2 = r^2$

$(1 - x_c)^2 + (7 - y_c)^2 = r^2$

Igualando as duas equações acima:

$(-4 - x_c)^2 + (2 - y_c)^2 = (1 - x_c)^2 + (7 - y_c)^2$

Expandindo os quadrados:

$16 + 8 \cdot x_c + x_c^2 + 4 -4 \cdot y_c + y_c^2 = 1 - 2 \cdot x_c + x_c^2 + 49 - 14 \cdot y_c + y_c^2$

Todos os termos elevados ao quadrado irão se cancelar:

$16 + 8 \cdot x_c + 4 -4 \cdot y_c= 1 - 2 \cdot x_c + 49 - 14 \cdot y_c$

Juntando os termos semelhantes:

$2 \cdot x_c + 8 \cdot x_c -4 \cdot y_c + 14 \cdot y_c= 1 + 49 - 16 - 4$

$10 \cdot x_c + 10 \cdot y_c = 30$

Ou simplificando por 10:

$\boxed{x_c + y_c = 3 }$

Agora escrevo a terceira equação da circunferência:

$(5 - x_c)^2 + (-1 - y_c)^2 = r^2$

Vou igualá-la à segunda equação. Mas se quiser pode igualar à primeira.

$(1 - x_c)^2 + (7 - y_c)^2 = (5 - x_c)^2 + (-1 - y_c)^2$

Expandindo os quadrados:

$1 - 2 \cdot x_c + x_c^2 + 49 - 14 \cdot y_c + y_c^2 = 25 - 10 \cdot x_c + x_c^2 + 1 + 2 \cdot y_c + y_c^2$

Os termos quadráticos se cancelam:

$1 - 2 \cdot x_c + 49 - 14 \cdot y_c = 25 - 10 \cdot x_c + 1 + 2 \cdot y_c$

Junto os termos semelhantes:

$- 2 \cdot x_c + 10 \cdot x_c - 14 \cdot y_c - 2 \cdot y_c = 25 + 1 - 1 - 49$

$8 \cdot x_c - 16 \cdot y_c= -24$

Simplificando por 8:

$\boxed{x_c - 2 \cdot y_c= -3}$

Agora temos duas equações e duas incógnitas, basta resolver o sisteminha para encontrar as coordenadas do centro. Pode usar substituição se preferir, eu vou usar pivoteamento de Gauss:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&|3\\1&-2&|-3\end{array}\right]$

Atualizo a segunda linha pela seguinte regra: $L_2 = L_1 - L_2$

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&|3\\0&-3&|-6\\\end{array}\right]$

Assim descobrimos de imediato que:

$-3 \cdot y_c = -6$

$y_c = \dfrac{-6}{-3}$

$\boxed{y_c = 2}$

E:

$x_c + y_c = 3$

Substituindo:

$x_c + 2 = 3$

$x_c = 3 - 2$

$\boxed{x_c = 1}$

Ou seja, o centro fica no ponto P = (1, 2)