Matemática, perguntado por sergiomouta3, 10 meses atrás

qual é o centésimo primerio termo da progressão aritmética (3,12,....)

Soluções para a tarefa

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (3, 12,...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 3

b)centésimo primeiro termo (a₁₀₁): ?

c)número de termos (n): 101 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 101ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do centésimo primeiro termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 12 - 3 ⇒

r = 9 (Razão positiva, conforme prenunciado no item d acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o centésimo primeiro termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀₁ = 3 + (101 - 1) . (9) ⇒

a₁₀₁ = 3 + (100) . (9) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₀₁ = 3 + 900 ⇒

a₁₀₁ = 903

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O centésimo primeiro termo da P.A.(3, 12, ...) é 903.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀₁ = 903 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o centésimo primeiro termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

903 = a₁ + (101 - 1) . (9) ⇒

903 = a₁ + (100) . (9) ⇒

903 = a₁ + 900 ⇒ (Passa-se 900 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

903 - 900 = a₁ ⇒

3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 3 (Provado que a₁₀₁ = 903.)

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