Question

Qual é o ângulo de elevação de um dispositivo que lança um projétil a uma altura igual ao alcance?

Answer 1

Usando conceitos de lançamento de projetil e identidades trigonométricas temos que o angulo para o qual o alcance é igual a altura é

$X=arctan(4)$

Explicação passo a passo:

Para encontrar o angulo para o qual a o alcance do projetil seja igual a sua altura podemos usar as formulas de lançamento de projeteis para o alcance e a altura.

O alcance do projetil é dado por

$R=\frac{v^2sin(2X)}{g}$

A altura máxima é dada por

$H=\frac{v^2sin^2(X)}{2g}$

onde nas duas equações v é a velocidade inicial do projetil e g é a aceleração gravitacional e X é o angulo de lançamento.

Igualando as duas funções temos:

$R=H$

$\frac{v^2sin(2X)}{g}=\frac{v^2sin^2(X)}{2g}$

eliminando v e g temos

$\sin(2X)=\frac{sin^2(X)}{2}$

usando a propriedade trigonométrica

$sin(2X)=2sen(X)cos(X)$

substituindo essa identidade na equação temos

$2sen(X)cos(X)=\frac{sin^2(X)}{2}$

$4sen(X)cos(X)=sin^2(X)$

dividindo os dois lado por sin(X)

$4cos(X)=sin(X)$

$tan(X)=4$

$X=arctan(4)$

arctan(4)≈75.9