Question

Qual é o algarismos das unidades do número 3 elevado a 2017

Answer 1

Vamos observar o que acontece com as potências de  3:

     •  3¹ = 3

     •  3² = 3 · 3 = 9

     •  3³ = 3 · 3 · 3 = 27

     •  3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81


Como obtivemos uma potência de  3  cujo algarismo das unidades é  1,  todas as outras potências seguintes terão o algarismo das unidades seguindo o ciclo  (3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, ...).  O algarismo das unidades é irá se repetir para todas as potências de  3  a cada acréscimo de  4  unidades no expoente.


Agora nos resta saber qual é o resto da divisão do expoente  2017  por  4.

     2017 = 2016 + 1

     2017 = 4 · 504 + 1


O algarismo das unidades de  3⁴  é  1.  Então, segue que o algarismo das unidades de

     $\mathsf{(3^4)^{504}}\\\\ =\mathsf{3^{4\,\cdot\,504}}\\\\ =\mathsf{3^{2016}}$

também é  1.


Logo, o algarismo das unidades de

     $\mathsf{3^{2017}=3^{2016+1}=3^{2016}\cdot 3}$


é

     $\mathsf{1\cdot 3=3\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$

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Utilizando a notação de congruência modular.

O algarismo das unidades de um número coincide com o resto da divisão desse número por  10,  pois utilizamos o sistema de numeração decimal (base 10).

Com isso, temos que

    $\mathsf{3^4=81=10\cdot 8+1}\\\\ \mathsf{3^4\equiv 1\quad(mod~10)}$


Eleve os dois lados  a  504:

     $\mathsf{(3^4)^{504}\equiv 1^{504}\quad(mod~10)}\\\\ \mathsf{3^{4\,\cdot\,504}\equiv 1^{504}\quad(mod~10)}\\\\ \mathsf{3^{2016}\equiv 1\quad(mod~10)}$


Multiplique os dois lados por  3:

     $\mathsf{3^{2016}\cdot 3\equiv 1\cdot 3\quad(mod~10)}\\\\ \mathsf{3^{2016+1}\equiv 3\quad(mod~10)}\\\\ \mathsf{3^{2017}\equiv 3 \quad(mod~10)}$


Como  0 ≤ 3 < 10,  concluímos que o algarismo das unidades de  3²⁰¹⁷  é  3.


Resposta:  3.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

3

Explicação passo-a-passo:

Vou ensinar de uma maneira simples para que está procurando soluções fáceis sobre isso. OLHA SÓ

♣QUERO QUE VOCÊ PERCEBA UMA SEQUÊNCIA INTERESSANTE

3¹=3

3²=9

3³=27

3 ⁴=81

♥NOTE ESSA SEQUÊNCIA(3,9,7,1) A CADA SEQUÊNCIA DE 4 NÚMEROS ISSO TORNA A REPETIR

♠QUERO QUE NOTE QUE O 3 É O 1º DA FILA, O 9 É O 2º..PRONTO!

♦DIVIDE O 2017 POR 4 E SE ATENTE AO RESTO

☻2017/4= O RESTO VAI SER 1

O NÚMERO 1 SIGNIFICA A POSIÇÃO NA FILEIRA

O PRIMEIRO NÚMERO É O 3

Cabou