Question

Qual é o algarismo das unidades do número 2^555?

Answer 1

O algarismo das unidades de um número é o resto da divisão deste número por $10.$


Então, queremos encontrar o resto da divisão

$2^{555}\div 10$


Podemos pensar assim:

$\bullet\;\;2^{1} \div 10=2\div 10=0,\;\;(\text{resto }2)\\ \\ \bullet\;\;2^{2} \div 10=4\div 10=0,\;\;(\text{resto }4)\\ \\ \bullet\;\;2^{3} \div 10=8\div 10=0,\;\;(\text{resto }8)\\ \\ \bullet\;\;2^{4} \div 10=16\div 10=1,\;\;(\text{resto }6)\\ \\ \bullet\;\;2^{5} \div 10=32\div 10=1,\;\;\textbf{(resto 2)}$


Notamos que, a partir de $2^{5}$, o padrão se repete a cada quatro linhas.


Temos a seguinte sequência de divisões cujo resto é $2:$

$\bullet\;\;2^{1} \div 10=2\div 10=0,\;\;(\text{resto }2)\\ \\ \bullet\;\;2^{5} \div 10=32\div 10=1,\;\;(\text{resto }2)\\ \\ \bullet\;\;2^{9} \div 10=512\div 10=51,\;\;(\text{resto }2)\\ \\ \vdots$

$\bullet\;\;2^{1+4k} \div 10$ deixa resto $2.$

($k$ é um número natural)


$555=4\cdot 138+3$


Então,

$\bullet\;\;2^{4\,\cdot\, 138+1} \div 10$ deixa resto $2;$

$\bullet\;\;2^{4\,\cdot\, 138+2} \div 10$ deixa resto $4;$

$\bullet\;\;2^{4\,\cdot\, 138+3} \div 10$ deixa resto $8.$


O último algarismo de $2^{255}$ é $8.$