Question

Qual é o 8° termo da PG (-1, 4 -16, 64,...)?

Answer 1

Boa tarde! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.G. (-1, 4, -16, 64, ...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: -1

b)oitavo termo (a₈): ?

c)número de termos (n): 8 (Justificativa: Embora a PG seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PG infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 8º), equivalente ao número de termos.)

(II)Determinação da razão (q) da progressão geométrica:

Observação: A razão (q), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da divisão entre um termo e seu antecessor imediato.

q = a₂ / a₁ =>

q = 4 / -1       (Regra de sinais da divisão: dois sinais diferentes resultam sempre em sinal de negativo.)

q = -4

(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.G, para obter-se o oitavo termo:

an = a₁ . qⁿ⁻¹ =>

a₈ = a₁ . qⁿ⁻¹ =>

a₈ = (-1) . (-4)⁸⁻¹ =>

a₈ = (-1) . (-2²)⁷        (Para facilitar o cálculo, note que 4 pode ser escrito como 2².)

a₈ = 3 . (-2²)⁷        (Aplica-se, no fator destacado, a propriedade da potência de potência, que diz que o resultado será determinado pela conservação da base e pela multiplicação dos expoentes.)

a₈ = (-1) . (-2²ˣ⁷) =>

a₈ = (-1) . (-2¹⁴)     (Note que o sinal de negativo não participará da potenciação.)

a₈ = (-1) . (-16384)       (Regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais resultam sempre em sinal de positivo.)

a₈ = 16384

Resposta: O oitavo termo da PG(-1, 4, -16, 64, ...) é 16384.

DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

1ª FORMA: -Substituindo a₈ = 16384 na fórmula do termo geral da PG, verifica-se que o resultado nos dois lados será igual, confirmando-se que o valor obtido está correto:

an = a₁ . qⁿ⁻¹ =>

a₈ = a₁ . qⁿ⁻¹ =>

16384 = (-1) . (-4)⁸⁻¹ =>

16384 = (-1) . (-4)⁷ =>

16384 = (-1) . (-(4.4.4.4.4.4.4))  (Note que o sinal de negativo não participa da potenciação.)

16384 = (-1) . (-(16.4.4.4.4.4)) =>

16384 = (-1) . (-(16.16.4.4.4)) =>

16384 = (-1) . (-(256.4.4.4)) =>

16384 = (-1) . (-(256.16.4)) =>

16384 = (-1) . (-(4096.4)) =>

16384 = (-1) . (-(16384)) =>

16384 = (-1) . (-16384) =>

16384 = 16384

2ª FORMA: Cálculo de termo a termo, sabendo-se que a₁=(-1) e q=(-4):

a₁ = -1

a₂ = -1 . (-4) = 4

a₃ = -1 . (-4) . (-4) = -16

a₄ = -1 . (-4) . (-4) . (-4) = 64

a₅ = -1 . (-4) . (-4) . (-4) . (-4) = -256

a₆ = -1 . (-4) . (-4) . (-4) . (-4) . (-4) = 1024

a₇ = -1 . (-4) . (-4) . (-4) . (-4) . (-4) . (-4) = -4096

a₈ = -1 . (-4) . (-4) . (-4) . (-4) . (-4) . (-4) . (-4) = 16384    (Provado que o oitavo termo é 16384.)

Espero haver lhe ajudado e bons estudos!