Question

Qual é o 4° termo no desenvolvimento de: 
(2y+5x)⁵​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{T_4=5000y^2x^3}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão sobre Binômio de Newton, utilizaremos a fórmula de termo geral do desenvolvimento.

Dado o seguinte binômio $(a+b)^n$, sabemos que a expansão geral é dada pela fórmula

$(a+b)^n=\displaystyle{\sum_{p=0}^n\binom{n}{p}~a^{n-p}\cdot b^p}$

Como $p$ é um parâmetro que varia entre 0 e $n$, a expansão geral terá $n+1$ termos.

Para encontrarmos um termo geral da expansão, existe uma fórmula que satisfaz estas condições

$T_{p+1}=\displaystyle{\binom{n}{p}a^{n-p}\cdot b^p}$

Lembre-se que o número binomial pode ser representado como $\displaystyle{\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\cdot(n-p)!}}$

Então, como buscamos o 4º termo do desenvolvimento de $(2y+5x)^5$, podemos substituir na fórmula:

$\begin{cases}n=5\\a=2y\\b=5x\\p=3\\\end{cases}$

Ou seja

$T_{3+1}=\displaystyle{\binom{5}{3}\cdot(2y)^{5-3}\cdot(5x)^3$

Calculando o número binomial pela fórmula comentada acima

$T_4=\dfrac{5!}{3!\cdot(5-3)!}\cdot(2y)^{5-3}\cdot(5x)^3$

Some os valores nos expoentes e lembre-se da propriedade de fatoriais: $n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!$ para simplificar a fração

$T_4=\dfrac{5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2!}\cdot(2y)^2\cdot(5x)^3$

Cancele os termos opostos e calcule as potências

$T_4=\dfrac{5\cdot4}{2\cdot1}\cdot4y^2\cdot125x^3$

Multiplique os valores e calcule a fração

$T_4=10\cdot4y^2\cdot125x^3\\\\\\ T_4=5000y^2x^3$

Este é o 4º termo do desenvolvimento deste binômio.