Question

Qual é o 23° elemento da P.A. de razão 3 em que a soma dos 30 termos iniciais é 255?

Answer 1

Lembrete:

☉ $a_n=a_k+\left(n-k\right)r$
☉ $S_n=\dfrac{\left(a_1+a_n\right)\cdot n}{2}$
--------------------------------------------------
A questão informa os seguintes dados:

☉ $S_{30}=255\text{ (Soma dos 30 primeiros termos da P.A)}$
☉ $r=3\text{ (Razao da P.A)}$
--------------------------------------------------
Inicialmente iremos encontrar a relação do $a_1$ com o $a_{30}$:

☉Soma de P.A:

$S_n=\dfrac{\left(a_1+a_n\right)\cdot n}{2}\\\\S_{30}=\dfrac{\left(a_1+a_{30}\right)\cdot 30}{2}=255\\\\\dfrac{\left(a_1+a_{30}\right)\cdot 30}{2}=255\\\\\left(a_1+a_{30}\right)\cdot 15=255\\a_1+a_{30}=255\div 15\\\bold{a_1+a_{30}=17}}\text{ (i)}$

☉ Termo geral de uma P.A:

$a_n=a_k+\left(n-k\right)r\\a_{30}=a_1+\left(30-1\right)\cdot 3\\a_{30}=a_1+\left(29\cdot 3\right)\\\bold{a_{30}=a_1+87}\text{ (ii)}$
--------------------------------------------------
Substituindo ii em i termos:

$a_1+\left(a_1+87\right)=17\\a_1+a_1+87=17\\2a_1+87=17\\2a_1=17-87\\2a_1=-70\\a_1=-70\div 2\\\bold{a_1=-35}$
--------------------------------------------------
Agora que temos o valor do $a_1\text{ (Primeiro termo)}$ basta substituir na forma geral da P.A:

$a_n=a_k+\left(n-k\right)r\\a_{23}=a1+\left(23-1\right)\cdot 3\\a_{23}=-35+\left(22\cdot 3\right)\\a_{23}=-35+66\\\boxed{\bold{a_{23}=31}}$
--------------------------------------------------
Resposta: $a_{23}=31$