Question

Qual é o 23 elemento da PA de razão 3 em que a soma dos 30 termos iniciais é 255?

Answer 1

A soma dos termos de uma P.A. pode ser dado pela seguinte expressão:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Onde:

$a_1$ é o primeiro termo,
$a_n$ é o enésimo termo que queremos somar,
$n$ é o número de termos que queremos somar.

Primeiro precisamos calcular o termo 30. Pela fórmula da P.A.:

$a_{n} = a_{1} + (n-1) \cdot R$

Então:
$a_{30} = a_{1} + (30 - 1)\cdot 3 = a_{1} + 29 \cdot 3 = a_{1} + 87$

Agora vamos substituir $a_30 = a_1 + 87$ na fórmula da soma dos termos da P.A.  e tentar encontrar o primeiro termo:

$S_{30} = \frac{(a_1 + a_1 + 87)\cdot 30}{2} = 255 \\ \frac{(2a_1 + 87) \cdot 30)}{2} = 255 \\ (2a_1 + 87) \cdot 30 = 2 \cdot 255 \\ 2a_1 + 87 = \frac{510}{30} \\ 2a_1+ 87 = 17 \\ 2a_1 = 17 - 87 \\ 2a_1 = -70 \\ a_1 = \frac{-70}{2} = -35$

Agora que sabemos o primeiro termo fica fácil calcular o 23°:

$a_{23} = a_1 + (23 - 1) \cdot R = -35 + 22 \cdot 3 = -35 + 66 = \boxed{ 31}$