Question

qual é o 11 termo da PG ($\frac{1}{729} \: \frac{1}{243} \: \frac{1}{81}$)?

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Answer 1

Resposta:

primeiro vamos definir a razão q:

1/243 . q = 1/81

q = 1/81 . 243/1

q = 3

** a_{n}a

n

= a_{1}a

1

. q^{n - 1}q

n−1

243 = \frac{1}{243}

243

1

. 3^{n - 1}3

n−1

** 243 = 3^{5}3

5

**

3^{5}3

5

= 3^{-5}3

−5

. 3^{n-1}3

n−1

**cancela as bases e fica só com os expoentes**

5 = -5 + (n-1)

5 = -5 + n -1

n = 5 + 5 + 1

n = 11

Portanto, a PG tem 11 termos.

Answer 2

De acordo com os dados fornecidos podemos a firmar que o décimo primeiro termo da progressão geométrica é 81, ou seja, $\large \displaystyle \text { \mathsf{a_{11} = 81 } }$.

Progressão geométrica ( P. G ): é toda sequência de números não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo ( a partir do segundo ) pelo termo anterior.

Exemplo:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ P. G\: (\: 2,8, 32, \cdots) \Rightarrow q = \dfrac{8}{2} = 4 } }$

Fórmula do termo geral de uma P.G:

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ a_n = a_1 \cdot q^{n -1} } } }$

Sendo que:

$\boldsymbol{ \textstyle \sf a_n \to }$ termo geral;

$\boldsymbol{ \textstyle \sf a_1 \to }$ primeiro termo;

$\boldsymbol{ \textstyle \sf q \to }$ razão;

$\boldsymbol{ \textstyle \sf n \to }$ número de termos.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf n = 1 1 \\ \sf a_{11} = \:?\\ \\ \sf P .G \: \left( \dfrac{1}{729}, \dfrac{1}{243}, \dfrac{1}{81, }, \cdots \right) \end{cases} } }$

Devemos primeiramente calcular a razão.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{ \dfrac{1}{243} }{ \dfrac{1}{729} } = \dfrac{1}{243} \cdot \dfrac{729}{1} = \dfrac{729}{243} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf q = 3 }$

Com a razão da P. G calculada, devemos calcular o décimo primeiro termo da progressão geométrica, usando a fórmula.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ a_n = a_1 \cdot q^{n -1} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ a_{11} = \dfrac{1}{729} \cdot 3^{11 -1} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ a_{11} = \dfrac{1}{3^6} \cdot 3^{10} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ a_{11} = \dfrac{3^{10}}{3^6} = 3^{10-6} = 3^4 } }$

$\Large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_{11} = 81 }} }$

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