Question

Qual é a soma dos termos da sequência (x - 2, 3x - 10, 10 + x, 5x + 2), para que a mesma seja uma progressão geométrica crescente?

Answer 1

Como queremos que a sequência seja uma Progressão Geométrica, podemos dizer que:

$\frac{3x-10}{x-2}=\frac{10+x}{3x-10}$

ou seja,

(3x - 10)² = (x - 2)(10 + x)

9x² - 60x + 100 = 10x + x² - 20 - 2x

9x² - 60x + 100 = x² + 8x - 20

8x² - 68x + 120 = 0

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bháskara:

Δ = (-68)² - 4.8.120

Δ = 4624 - 3840

Δ = 784

$x =\frac{68+-\sqrt{784}}{2.8}$

$x =\frac{68+-28}{16}$

$x' =\frac{68+28}{16} = 6$

$x'' =\frac{68-28}{16} = \frac{5}{2}$

Como queremos uma PG crescente, então x = 6.

Assim, a Progressão Geométrica é (4,8,16,32).

Portanto, a soma dos termos da sequência é igual a: 4 + 8 + 16 + 32 = 60.