Question

Qual é a soma dos 60 termos inicias da P.A (9,13,17,21...)?
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Answer 1

Resposta:

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (9, 13, 17, 21,...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:9

b)sexagésimo termo (a₆₀): ?

c)número de termos (n): 60 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 60ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do sexagésimo termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem, afastam-se do zero, particularmente à sua direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒  

r = 13 - 9 ⇒  

r = 4   (Razão positiva, conforme prenunciado no item d acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o sexagésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₆₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₆₀ = 9 + (60 - 1) . (4) ⇒

a₆₀ = 9 + (59) . (4) ⇒         (Veja a Observação 2.)

a₆₀ = 9 + 236  ⇒

a₆₀ = 245

Observação 2:  Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O sexagésimo termo da P.A.(9, 13, 17, 21,...) é 245.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₆₀ = 245 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o sexagésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₆₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

245 = a₁ + (60 - 1) . (4) ⇒

245 = a₁ + (59) . (4) ⇒

245 = a₁ + 236 ⇒      (Passa-se 236 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

245 - 236 = a₁ ⇒  

9 = a₁ ⇔                    (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 9                         (Provado que a₆₀ = 245.)