Question

Qual é a soma dos 21 elementos iniciais da progressão aritmética em que a1 =78 e a razão é -8?

Answer 1

Vamos lá.

Note, Mariaeduarda, que a resolução continua simples.

Pede-se a soma dos 21 primeiros termos de uma PA, da qual são conhecidas as seguintes informações: a₁ = 78 e r = -8.

Veja: vamos primeiro encontrar qual é o último termo (an) que, no caso será o 21º termo (a₂₁). Assim, aplicando-se a fórmula do termo geral de uma PA, teremos:

a₂₁ = a₁ +(21-1)*r ----- substituindo-se "a₁" por "78" e "r" por "-8", teremos:
a₂₁ = 78 + (20)*(-8) ----- note que "20*(-8) = -160". Assim:
a₂₁ = 78 + (-160) --- ou, retirando-se os parênteses, ficaremos:
a₂₁ = 78 - 160
a₂₁ = - 82 <--- Este é o valor do 21º termo da PA da sua questão.

Agora vamos para a fórmula da soma, que é dada por:

Sn = (a₁ + an)*n/2

Na fórmula acima, substituiremos "Sn" por "S₂₁", pois estamos querendo a soma dos "21" primeiros termos da PA. Por sua vez, substituiremos "a₁" por "78", que é o valor do primeiro termo. Por seu turno, substituiremos "an" por "a₂₁", cujo valor é "-82". E, finalmente, substituiremos "n" por "21" pois estamos trabalhando com a soma dos 21 primeiros termos da PA.
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

S₂₁ = (78 - 82)*21/2
S₂₁ = (-4)*21/2
S₂₁ = -4*21/2
S₂₁ = -84/2
 
S₂₁ = - 42 <--- Pronto. Esta é a resposta. Esta é a soma dos 21 primeiros termos da PA da sua questão.

Bem, a resposta já está dada. Agora, por mera curiosidade, vamos ver quais são todos os 21 termos dessa PA. Para isso, basta irmos somando a razão igual a "-8" (r = -8) a partir do primeiro termo "78" (a₁ = 78) e encontraremos todos os 21 termos da PA. Assim, a PA da sua questão terá a seguinte conformação:

(78; 70; 62; 54; 46; 38; 30; 22; 14; 6; -2; -10; -18; -26; -34; -42; -50; -58; -66; -74; -82) <---- Aqui temos todos os primeiros 21 termos da PA.
Se você quiser ter o trabalho de fazer toda a soma vai ver que o resultado será o que encontramos acima (S₂₁ = -42)

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.