Question

Qual é a solução geral da equação y" + 3y' = 10y diferencial

Answer 1

Para a solução da nossa equação vamos considerar que nossa equação diferencial de segunda ordem é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes, da qual não conhecemos nenhuma solução particular, que é expressa da seguinte forma:

$\begin{array}{ccc}\sf y'' + 3y' =10y& \iff&\sf y''+3y'-10y=0\end{array}$

Observe que, como todos os seus coeficientes são constantes, todos os seus coeficientes são funções contínuas em qualquer intervalo I, portanto, podemos garantir que existe uma solução.

A equação que consideramos pode ser reescrita como $\sf y'' = \alpha y' + \beta y$, esta expressão sugere que a segunda derivada da solução que estamos procurando é uma combinação linear de a primeira e a segunda derivada. Podemos notar que uma função da forma exponencial $\sf y=e^{\lambda x}$ satisfaz esta propriedade, pois

$\begin{array}{cc}&\sf y=e^{\lambda x}\\\\\\ &\sf y'=\lambda e^{\lambda x}\\\\\\ &\sf y''=\lambda^2e^{\lambda x} \end{array}$

• Então, substituindo essa função e suas derivadas na equação que temos, temos que

$\begin{array}{c|c|c} \\ &\sf \lambda^2 e^{\lambda x}+3\lambda e^{\lambda x}-10e^{\lambda x} =0& \\ \vphantom{.}\end{array}$

Dê uma boa olhada na expressão, pois podemos fatorar essa expressão, porque se removermos $\sf e^{\lambda x}$ como um fator comum em toda a nossa equação, obtemos

$\\ &\sf e^{\lambda x} \cdot\overbrace{\sf\left(\lambda^2 +3\lambda -10\right)}^{\tt p(\lambda)}= 0&$

Levando em conta que a função exponencial é sempre diferente de zero, temos que $\sf e^{\lambda} \neq 0$, então para que essa igualdade seja satisfeita, o outro fator envolvido deve necessariamente ser igual a zero, ou seja, p(λ) = 0.

Sendo p(λ) um polinômio de segundo grau que quando igual a 0 torna-se uma equação de segundo grau. Para resolver essa equação de segundo grau podemos usar a fatoração ou a famosa fórmula de Bhaskara, que é:

$\sf \lambda_{1,~2} =\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Lembremos que a, b e c são os coeficientes que acompanham a variável λ, para saber quais são os coeficientes que acompanham a variável λ lembremos que a forma geral de uma equação de segundo grau é:

$\sf ay^2+by+c=0\quad\iff\quad \underset{a}{ \boxed1}\lambda^2 +\underset{b}{\boxed3}\lambda+\underset{c}{\boxed{-10}}=0$

Fazendo a comparação podemos ver que uma forma de calcular as soluções da nossa equação é pela expressão:

$\sf \lambda_{1,~2} =\dfrac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-10)}}{2\cdot 1}\\\\\\ \sf \lambda_{1,~2} =\dfrac{-3\pm \sqrt{9+40}}{2}\\\\\\ \sf\lambda_{1,~2} =\dfrac{-3\pm \sqrt{49}}{2}\\\\\\ \sf \lambda_{1,~2} =\dfrac{-3\pm 7}{2}$

Portanto, as soluções para esta equação quadrática são

$\sf \lambda_1=\dfrac{-3+7}{2}~~\lor~~\lambda_2=\dfrac{-3-7}{2}\\\\\\ \sf \lambda_1=\dfrac{4}{2}~~\lor~~\lambda_2=\dfrac{-10}{2}\\\\\\ \sf\lambda_1=2~~\lor~~\lambda_2=-5$

Podemos ver que as soluções para nossa equação diferencial são $\sf y_1=e^{2x}$ e $\sf y_2=e^{-5x}$ , mas o exercício pede para a solução geral da nossa equação diferencial o que faremos é multiplicar ambas as soluções por uma constante arbitrária $\sf C_1$ e $\sf C_2$, portanto a solução geral é:

$\\\boldsymbol{\blue{y_G =C_1 e^{2x}+C_2e^{-5x}~,com~C_1,C_2\in\mathbb{R}}}$

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