Question

Qual é a solução de y"-2y'+y=Sen2x?

Answer 1

Temos a seguinte equação diferencial:

$\: \: \: \: \sf \: \bullet \:y''- 2y' + y = sen(2x) \: \bullet$

Para resolver esta equação, vamos utilizar o método dos coeficientes a determinar, pois o método da variação de parâmetros geraria uma integral um pouco complexa de se resolver. Para utilizar este método, devemos "chutar" uma solução particular baseada na função que se encontra após a igualdade. Pelas tabelas, sabemos que a solução particular levando em conta a expressão sen(2x), é:

$\sf sen(ax) = A.cos(ax) + B.sen(ax)$

Antes de calcularmos a solução particular em si, é necessário lembrar que esta equação diferencial de segunda ordem é não homogênea, ou seja, a solução geral da mesma, é dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf y_g= y_h + y_p }$

Sendo yh a solução da equação homogênea associada e yp a solução particular. Dado que a solução particular se baseia na solução listada anteriormente, vamos iniciar pela homogênea associada que é menos complexa:

$\sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: y''- 2y' + y = 0$

Utilizando o método dos coeficientes constantes:

$\sf m {}^{2} - 2 m + 1 = 0 \: \to \: m_{1,2} = 1$

Dado que a solução possui duas raízes reais e iguais, devemos utilizar o caso de solução 2:

$\sf \bullet \: caso \: 2 : \\ \sf y_h = c_1.e {}^{m_1 \: x \: } + c_2.x {e}^{m_2 \: x \: }$

Substituindo os dados, temos então que:

$\: \: \: \: \: \: \boxed{ \boxed{ \boxed{\sf y_h = c_1.e {}^{x } + c_2.x {e}^{ x } }}}$

Agora vamos encontrar a solução particular, para isso, devemos derivar a solução proposta anteriormente duas vezes, já que a equação é de segundo grau. Fazendo isso:

$\sf y_p = A.cos(2x) + B.sen(2x) \\ \\ \sf y'_p = A.( - sen(2x)).(2) + B.cos(2x).2 \\ \sf y'_p = - 2A. sen(2x) + 2B.cos(2x) \\ \\ \sf y''_p = - 2 A.cos(2x).2 + 2B.( - sen(2x)) \\ \sf y''_p = - 4 A.cos(2x) - 4B.sen(2x)$

Tendo feito isso, agora vamos substituir esses dados na equação diferencial fornecida:

$\sf \underbrace{ - 4 A.cos(2x) - 4B.sen(2x))}_{y''_p}- \underbrace{ 2(- 2A. sen(2x) + 2B.cos(2x) ) } _{y'_p} + \underbrace{A. cos(2x) + B.sen(2x) }_{y_p} = sen(2x) \\ \\ \sf - 4 A.cos(2x) - 4B.sen(2x) + 4 A.sen(2x) - 4B.cos(2x) + A. cos(2x) + B.sen(2x) = sen(2x) \\ \\ \sf - 3 A .cos(2x) - 3 B.sen(2x) + 4 A.sen(2x) - 4B.cos(2x) = 0.cos(2x) + sen(2x)$

Montando um sistema e igualando os termos Cos(x) com os termos Cos(x) e do mesmo jeito com o Sen(x):

$\begin{cases} \sf cos(2x).[ - 3 A - 4B] = 0 \: . \: cos(2x) \\ \sf sen(x). [ - 3 B + 4A ] = 1 \: . \: sen(2x)\end{cases} \\ \\ \begin{cases} \sf - 3 A - 4B = 0 \\ \sf - 3 B + 4A = 1\end{cases}$

Resolvendo pelo método da adição, chegamos aos seguintes valores:

$\sf A = \frac{4}{25} \: \: \: e \: \: \: B = - \frac{3}{25}$

Portanto, a solução particular é:

$\sf y_p = \frac{4}{25} .cos(2x) - \frac{3}{25} .sen(2x)$

Juntando as duas soluções para obter a solução geral da equação diferencial:

$\sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y_g = y_p + y_h \\ \sf \: \: \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf y_g = \frac{4}{25} .cos(2x) - \frac{3}{25} sen(2x) +c_1.e {}^{x} + c_2.xe {}^{x} }}}$

Esta é a solução geral, espero ter ajudado.