Question

Qual é a reta que passa pela origem e pelo ponto médio do segmento HG com H=(-1,1) e G=(3,5)?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{y=3x}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Em geometria analítica, existem fórmulas que nos permitem calcular as coordenadas do ponto médio de segmentos e as equações da reta.

Para esta questão, utilizaremos a fórmula do ponto médio e matrizes.

Primeiro, devemos encontrar o ponto médio do segmento HG.

Sejam dois pontos quaisquer no plano $(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$, as coordenadas do ponto médio do segmento que ligam esses dois pontos são dadas por

$(x_M,~y_M)$, na qual $x_M=\dfrac{x_1+x_2}{2}$ e $y_M=\dfrac{y_1+y_2}{2}$.

Utilizando as coordenadas dos pontos H e G, obtemos

$x_M=\dfrac{-1+3}{2}$ e $y_M=\dfrac{1+5}{2}$

Some os valores e simplifique as frações

$x_M=\dfrac{2}{2}=1$ e $y_M=\dfrac{6}{2}=3$.

Logo, as coordenadas do ponto médio do segmento HG são $(1,~3)$.

Queremos encontrar a equação da reta que passa pela origem e pelo ponto médio. Sabendo que a origem é o ponto $(0,~0)$, podemos utilizar matrizes para encontrar a equação da reta.

O determinante da matriz formado pelas coordenadas de dois pontos quaisquer e um ponto genérico $(x,~y)$ deve ser igual a zero, para satisfazer a condição de alinhamento de três pontos. Substituindo as coordenadas dos pontos que fazem parte dessa reta, temos:

$\begin{vmatrix}0&0&1\\1&3&1\\x&y&1\\\end{vmatrix}=0$

Para resolver este determinante, podemos usar a Regra de Sarrus, que nos diz para encontrarmos o determinante de uma matriz de ordem 3 ou inferior, devemos replicar as duas primeiras colunas à direita da matriz e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais que partem da esquerda para a direita e a soma dos produtos dos elementos que partem da direita para a esquerda. Isto é:

$\left|\begin{matrix}0 & 0 & 1\\ 1& 3 & 1\\ x &y & 1\end{matrix}\right. \left|\begin{matrix}0 & 0\\ 1&3 \\ x& y\end{matrix}\right.=0$

Aplique a Regra de Sarrus

$0\cdot3\cdot1+0\cdot1\cdotx+1\cdot1\cdot y -(0\cdot1\cdot1 + 0\cdot1\cdot y + 1\cdot3\cdot x)=0$

Efetue as propriedades de multiplicação para retirar os termos de dentro dos parênteses

$y-3x=0$

Isole $y$ para encontrar a equação reduzida da reta.

$y=3x$.

Esta é a equação da reta que passa pela origem e pelo ponto médio do segmento HG.