Question

qual é a relação da soma dos termos de uma P.G. finita com a letra grega "sigma"?

Answer 1

Na realidade a letra sigma maiúscula não está relacionada à soma de P.G. finitas, mas à qualquer soma! O sigma é uma notação matemática chamada somatório e indica uma soma de termos, sem termos de escrever todos os termos. Vamos primeiramente nos habituar com essa notação para partirmos para sua aplicação numa P.G. finita.

Introdução ao Somatório

O somatório é uma ferramenta muito útil para representarmos uma soma de termos que sabemos como prosseguem a partir de um índice. O índice é nosso iterador da soma e normalmente é chamado de i ou j, mas pode ser qualquer letra. Ele inicia a partir de um valor escolhido e a cada elemento que ele soma, uma unidade é adicionada à ele até o máximo ser atingido. Por exemplo, se queremos que nosso índice comece no número 3 e vá até o número 7 escrevemos

$.\hspace{1cm}\displaystyle \sum_{i=3}^7$

Agora, precisamos mostrar o que queremos somar, se queremos somar os números naturais de 3 à 7, então queremos somar cada i, portanto, esta soma é escrita como

$\displaystyle \sum_{i=3}^7 i = 3+4+5+6+7$

Pois, substituímos i pelo valor atual e somamos progressivamente. Esta notação é particularmente útil quando queremos somar muitas coisas e queremos representar esta soma num espaço limitado, por exemplo, a soma dos inversos dos 100 primeiros naturais (retirando 0) pode ser escrito como

$\displaystyle\sum_{i=1}^{100} \dfrac{1}{i} = 1+\dfrac{1}{2}+\dots+\dfrac{1}{100}$

Propriedades do Somatório

Mais importante que conhecer como o somatório funciona é saber como manipulá-lo. Para isso mostraremos algumas propriedades do somatório

$i)\,\displaystyle \sum_{i=1}^n \alpha \cdot a_i = \alpha \cdot \sum_{i=1}^n a_i, \hspace{0.3cm} \alpha \ \mathrm{escalar}$

Se um número multiplica todos os termos de uma vez, você pode tirar ele do somatório. É um resultado trivial que parte da distributividade,

$\alpha\cdot a_1+\dots + \alpha\cdot a_n = \alpha\cdot (a_1+\dots+a_n)$

$ii)\, \displaystyle \sum_{i=1}^n (a_i + b_i) = \sum_{i=1}^n a_i + \sum_{i=1}^n b_i$

Aqui, se dois termos estão sob um mesmo somatório, é possível separá-los em 2 somatórios distintos

$iii)\, \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^m a_i+\sum_{i=m+1}^n a_i, \hspace{0.3cm} m\leq n$

Caso seja interessante, é possível 'cortar' o somatório em 2 somatórios menores, como é feito aqui

$\displaystyle\underbrace{1+2+3+4+5+6+7+8} = \underbrace{1+2+3} +\underbrace{4+5+6+7+8}\\ .\hspace{1.8cm} \sum_{i=1}^8 i \hspace{1.8cm}=\hspace{0.35cm} \sum_{i=1}^3 i\hspace{0.3cm} + \hspace{1cm}\sum_{i=4}^3 i$

$iv)\,\displaystyle \sum_{i=1}^n a_{i+k} = \sum_{i=k+1}^{n+k} a_i$

É possível também trocar o índice. Podemos modificar o número que nosso índice começa a fim de facilitar a notação.

$v) \, \displaystyle \sum_{i=1}^n a_{i+1} - a_{i} = a_{n+1}-a_1$

Esta última propriedade é chamada soma telescópica e é marcada pelo cancelamento dos termos internos, já que

$\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i-a_{i+1} = a_{n+1}-a_{n-1}+a_{n-1}-a_{n-2}+\dots +a_3-a_2+a_2-a_1 = a_{n+1} - a_1$

P.G. Finita

Como a soma de uma progressão geométrica é uma soma, ela pode ser representada pelo somatório. Neste caso queremos somar cada termo da P.G.

$a_i = a_1\,q^{i-1}$

No entanto, no caso de uma P.G. finita, somamos o termos até o termo n

$S_n =\displaystyle \sum_{i=1}^n a_1\, q^{i-1}$

Pela primeira propriedade do somatório, podemos retirar o a₁ do somatório, por multiplicar todos os termos

$S_n = \displaystyle a_1 \sum_{i=1}^{n} q^{i-1}$

Aqui, podemos utilizar a propriedade iv) do somatório para simplificar a notação

$S_n = \displaystyle a_1 \sum_{i=0}^{n-1} q^{i}$

Daqui, vamos fazer um passo esperto, multiplicaremos Sₙ por q,

$q\cdot S_n = \displaystyle  a_1\cdot q \sum_{i=0}^{n-1} q^{i}$

$q\cdot S_n = \displaystyle a_1\sum_{i=0}^{n-1} q^{i+1}$

E subtraímos uma da outra

$q\cdot S_n - S_n = \displaystyle a_1 \sum_{i=0}^{n-1} q^{i} - a_1\sum_{i=0}^{n-1} q^{i+1}$

Utilizando da propriedade ii),

$q\cdot S_n - S_n = \displaystyle a_1 \sum_{i=0}^{n-1} q^{i+1} - q^{i}$

Trata-se de uma soma telescópica, introduzida na propriedade v), que é igual à

$q\cdot S_n - S_n = \displaystyle a_1 (q^{n-1+1}-1) = a_1(q^n -1)$

$S_n(q-1) = a_1 (q^n-1)$

$\boxed{S_n =a_1\cdot \dfrac{q^n-1}{q-1}}$

Chegamos à expressão que calcula os n primeiros termos de uma P.G. utilizando somente somatório e suas propriedades.

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