Question

Qual é a quantidade de elementos da PG finita (1,2,4,...), sabendo que a soma dos temos dessa é 2045?​

Answer 1

Resposta:

seria 11 se a soma for 2047

Veja a imagem.

Explicação passo a passo:

Sabemos que a seguência 1,2,4,... tem razão q = 2 e que Sn = 2045.

então pela formula da soma temos

$S_n = A_1+A_2+A_3+\cdots+A_n\\S_n = A_1+(A_1\cdot q)+(A_1\cdot q^2)+\cdots+(A_1\cdot q^{n-1})\\S_n\cdot q = A_1\cdot q+(A_1\cdot q^2)+(A_1\cdot q^3)+\cdots+(A_1\cdot q^n)\\S_n-S_n\cdot q = A_1-(A_1\cdot q^n)\\S_n(1-q) = A_1(1-q^n)\\\\S_n = \frac{A_1(1-q^n)}{1-q}$

$S_n = \frac{A_1(q^n-1)}{q-1}$

Portanto,

$S_n = \frac{1(1-2^n)}{1-2}\\2045 = -(1-2^n)\\2045 = -1+2^n\\2046 = 2^n$     $S_n = \frac{1(2^n-1)}{2-1} \\2045 = 2^n-1\\2046 = 2^n$

Vamos pensar um pouco 3 termos temos

$S_3 = 1(2^n-1)\\7 = 2^n-1\\8 = 2^n\\n = 3$            $S_3 = \frac{1(1-2^n)}{1-2}\\7 = -(1-2^n)\\7 = -1+2^n\\n = 3$

então se fatorarmos 2046 temos 2046 = 2·3·11·31

ou seja, a soma dos termos da tal PG não pode ser 2045.

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024

perceba que nesta seq temos 11 termos. então

$S_{11} = \frac{1(1-2^n)}{1-2} \\S_{11} = -(1-2^{11})\\S_{11} = 2^{11}-1\\S_{11} = 2048-1\\S_{11} = 2047$