Question

Qual é a primitiva da função Logarithmorum de x ?

Answer 1

Olá,

∫ ln(x) dx = ln(x)·x - ∫ x·(1/x) dx = x·ln(x) - ∫ dx = x·ln(x) - x = x·(ln(x)-1) + c

Lembrando da integração por partes:

∫ u dv = uv - ∫ v du 

u = ln (x) 
du = 1/x dx

dv = dx
v = x

Resposta:

A primitiva de ln(x) é igual á x·(ln(x)-1)

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a primitiva - antiderivada ou integral indefinida - procurada é:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \int \ln x\, dx= x\cdot(\ln x - 1) + c\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função dada:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt f(x) = \ln x\end{gathered}$

Encontrar a primitiva desta função significa calcular a seguinte integral indefinida:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \bf(I)\end{gathered}$                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int \ln x\,dx\end{gathered}$

Para calcular esta primitiva devemos aplicar o método da integração por partes.

Como na equação "I" temos apenas uma função para primitivar, então poderemos reescreve-la, como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \bf(II)\end{gathered}$             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int 1\cdot\ln x\,dx\end{gathered}$

Como agora temos duas funções devemos escolher uma delas para primitivar e outra para derivar. Esta escolha é realizada por intermédio da regra LIATE, que pode ser resumida como:

            $\Large\begin{cases}\tt L = Logaritmicas\\\tt I = Inversas\:trigonom\acute{e}tricas\\\tt A = Alg\acute{e}bricas\\\tt T = Trigonom\acute{e}tricas\\\tt E = Exponenciais\end{cases}$

Esta regra mostra a ordem de prevalência de um tipo de função sobre a outra. Esta ordem está orientada de cima para baixo, ou seja, da mais prevalente para a menos prevalente. O que importa aqui é que a de maior prevalência sofrerá a derivação e a de menor prevalente sofrerá a primitivação. Desta forma, temos:

       $\Large\begin{cases}\tt Derivar = g(x) = \ln x\\\tt Primitivar = h(x) = 1\end{cases}$

A partir de agora devemos realizar os cálculos, que são:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt I = \int \left[g(x)\cdot h(x)\right]\,dx\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = g(x)\cdot\int h(x)\,dx - \int \left[\frac{d}{dx}g(x)\cdot \int h(x)\,dx\right]\,dx\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \ln x\cdot \int 1\,dx - \int \left[\frac{d}{dx}\ln x \cdot \int 1\,dx\right]\,dx\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \ln x\cdot 1\int dx - \int \left[\frac{1}{x}\cdot1\int dx\right]\,dx\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = x \ln x - \int \left[\frac{1}{x}\cdot x\right]\,dx\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = x \ln x - \int \frac{x}{x}\,dx\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = x \ln x - \int 1\,dx\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = x \ln x - 1\int dx\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = x \ln x - x + c\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = x\cdot(\ln x - 1) + c\end{gathered}$

✅ Portanto, a primitiva procurada é:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int \ln x\, dx= x\cdot(\ln x - 1) + c\end{gathered}$

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Veja a solução gráfica da questão representada pela figura: